基于CPFS结构理论的“二次函数与一元二次方程、不等式”教学设计
付佳惠 程国忠
【摘要】用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法.新版人教版必修第一册的第2章第3节“二次函数与一元二次方程、不等式”作为初高中的衔接知识，是高中学生必备的基础，对今后继续学习其他函数等知识尤为重要.本文基于喻平教授提出的CPFS结构理论对这节内容进行教学设计，力图在教学中沟通初高中内容，让学生平稳过渡到高中的学习，并在头脑中形成对三个“二次”之间的知识网络结构，为今后的学习打下基础.
【关键词】不等式;CPFS结构;教学设计
一、引 言
新一轮基础教育课程改革的实施，全面推进素质教育，出版了新教材 《普通高中课程标准实验教科书》，其中知识的结构和内容与原来相比也发生了较大变化.在2017版新课标中，将原人教A版必修1第3章第1节“函数与方程”及必修5第3章“不等式”的内容提前了，使其作为高中数学学习的预备知识于新版必修第一册的第2章第3节“二次函数与一元二次方程、不等式”处综合学习.这样设计的目的，其一是由一元二次函数、方程及不等式的地位所决定，其二是由学生认知发展所决定.“教材编写要利于学生的学”[1]，作为初高中衔接的过渡知识，一元二次函数易与初中所学的一元一次函数相联系，便于学生理解.另外，“教材编写应体现整体性” [1]，“以数学表达方式来看，方程相当于不等式的一种特殊情况，因此，方程和不等式问题具有一定关联性”[2].同时，由于三个“二次”之间有着相同的函数表达式——一元二次函数，也就是说三个“二次”之间有着非常密切的联系.所以，教师在教学这一章节时，一定不要割裂这些知识点之间的联系，而应让学生架构整体框架，在头脑中形成完整的数学知识网络.
二、CPFS结构理论的概述
2003年，喻平教授在《数学学习心理的CPFS结构理论》这一论文中，正式提出了CPFS结构这一新概念.CPFS结构是由概念系、概念域、命题系、命题域组成的一个系统.“概括地讲，CPFS结构就是个体头脑中形成的由概念或命题组成的数学知识网络，其中各个知识点（概念、命题）处于一定的位置，它们之间存在等价关系、强抽象关系、弱抽象关系、广义抽象关系之一”[3].
三、基于CPFS结构理论的“二次函数与一元二次方程、不等式”教学设计
1.教材分析
（1）教材地位与作用
本教学设计使用教材为新人教版必修第一册第2章第3节内容，该节内容是作为初高中的过渡知识呈现的，其作用在于让学生体会函数的重要性，为学习其他函数打下基础.
（2）教学目标
a.理解三个“二次”之间的关系，掌握一元二次不等式的图像解法，能在实际情境中灵活运用.
b.通过探索，学会解决问题的方法.
c.渗透数形结合思想和分类讨论思想，通过对实际问题的分析，培养学生科学实证的意识，以及科学探索的实践精神.
（3）重点、难点
重点：理解清楚三个“二次”之间的关系，利用函数图像求一元二次不等式的解集.
难点：探究一元二次函数根的分布情况与不等式解集的关系.
2.学情分析
这一阶段的学生处于适应期，自主性学习能力不强，各类数学思想方法的掌握也很薄弱，这对教师教学而言挑战较大.但大部分同学对数学学习兴趣较高，对数学学习有较大的自信心，积极参与课堂活动.
3.教法分析
用问题串的形式鼓励、引导学生自主思考，利用小组讨论的形式引导学生自己归纳总结，达到教学目标.
4.教学准备
多媒体，PPT，作图工具（尺规）.
5.教学过程
（1）复习回顾
问题1：请同学们求解2x+1>0的解集.首先回忆一下，初中我们是如何分析这一不等式的？
（设计意图：引导学生回忆分析方法，总结出解一元一次不等式是通过分析一次函数图像及一元一次方程的根这一方法来解决的，为新课的学习积累数学学习方法.）
（2）情景引入
问题2：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉，若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？（直接运用教材中的问题）
生：我们假设矩形其中一条边长为x米，另一条边长为（12-x）米，可列出关系式得（12-x）x>20，其中x∈{0 （提醒学生注意x的取值范围） 整理，得x2-12x+20<0，x∈{0 师：只要解出这个不等式就可以解决这道题了.那么我们怎么解这个不等式呢？你们能发现这个不等式与一元一次不等式有什么异同吗？ 生：都只有一个未知数和不等号，但未知数最高次数为2. 师：大家能给它取个名字吗？ 生：一元二次不等式. 师：非常好！像这样，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 问题3：我们能否类比一元一次不等式解法，解一元二次不等式呢？小组讨论一下. 生：利用一元二次函數求解. 师：非常好！ 问题4：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法，类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 生：应该也可以. 师：请同学们画出函数y=x2-12x+20的图像，并观察，你能得出什么结论？ [师用几何画板作出函数图像（如图1），并作一点P，可在函数图像上自由移动.] 生：函数图像与x轴有两个交点（2，0）和（10，0）. 师：非常好！同学们作图非常准确.老师问问你们，你们知道这里的2和10有什么意义吗？ 生：在y=x2-12x+20中，当x=2或x=10时，有y=0，即x2-12x+20=0. 师：非常正确，也就是说，从函数角度看，当函数值y取0时，x的取值为2和10，那么从方程方面看呢？ 生：2和10是方程x2-12x+20=0的两个根. 师：在这里，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫作二次函数y=ax2+bx+c的零点.也就是说，这里的x1=2和x2=10是y=x2-12x+20的两个零点. 师：现在，我们来看，如果点P在两个零点之间移动时，会发生什么现象？ 生：点P一直处于x轴下方. 师：换句话说，就是点P的纵坐标都怎样？ 生：在x轴下方，就是x2-12x+20<0. 师：（几何画板动画演示）同学们发现了吗？我们已把栅栏问题解决了.当P在（2，10）内移动时，图像处于x轴的下方，即有yp<0，也就是x2-12x+20<0.则当矩形的一条边处于2 师：观察图像，同学们能告诉我什么情况下x2-12x+20>0吗？ 生：点P在x<2和x>10范围内移动时，图像在x轴上方，那么x2-12x+20>0的解集为x<2或x>10. 师：非常好，但注意不等式解集的写法，取两边的情况应这样书写{x|x<2，或x>10}.同学们学会用图像求解一元二次不等式了吗？能否试着总结一下求解步骤呢？ 生：先画出函数图像，再求方程的根，最后看图写出解集. 师：同学们总结得非常好，但是，在解题过程中，老师建议同学们先算出对应方程的根，找到相应函数的零点，再作图，以确保作图准确. （3）巩固运用 例1 求9x2-6x+1>0的解集. 第一步：求出9x2-6x+1=0的根，得x1=x2=13. 第二步：画出函数y=9x2-6x+1的图像. 第三步：观察图像，得出解集为x|x≠13. （提醒學生注意零点取值） 例2 求-x2+2x-3>0的解集. 第一步：求-x2+2x-3=0的根，由判别式Δ=b2-4ac可知，方程无解. 第二步：由于函数y=-x2+2x-3的a<0，那么函数开口向下，并且函数与x轴无交点，可画出草图. 第三步：写出解集为. （4）课堂小结 ①本节课我们是通过什么方法来求解一元二次不等式的？ ②涉及以前的哪些知识？三个“二次”之间有什么联系？ ③你学习到什么数学方法？ （教师提问，学生回答，引导学生自己总结.） （5）分层作业 ①必做题：53页练习第1，2题，55页第1题. ②选做题：55页第6题. 四、结束语 本文基于CPFS结构理论进行教学设计，希望学生通过对一元二次不等式图像解法的学习，促使其形成一定的知识网络结构，明白三个“二次”之间的联系，如图2.在师生共同探究一元二次不等式解法的过程中，学生也学习了一种应用广泛的数学方法——类比法，以及几种重要的数学思想，如数形结合思想、转化思想、整体思想等，为今后的数学研究打下基础.在经历了回忆、探究、总结及巩固练习后，学生可以在头脑中形成如图3所示的清晰网络结构，并且明白结点与结点的连线所代表的数学关系，掌握了这些便能清晰地理解本节课的内容，从而熟练掌握一元二次不等式的图像解法，在头脑中形成对相等关系与不等关系的整体认识. 【参考文献】 [1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版[M].北京：人民教育出版社，2017. [2]钱志祥.探析方程和不等式的关联性：以一元二次方程和一元二次不等式为例[J].中学生数理化，2020（06）：9-10. [3]喻平.CPFS结构与数学命题教学[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（02）：5-10.