数形结合思想在小学高年级数学教学中的应用
樊蕊
【摘要】数形结合是抽象的数量关系和直观图形结构相结合，将数量和空间形式相互补充，可以用来解决小学高年级数学难题，同时丰富学生对数学知识的了解，发展其思维模式。文章探索了小学高年级数学教学中数形结合思想的运用，对小学高年级数学教学具有理论意义。
【关键词】“数形结合”思想;小学高年级数学教学;应用
一、引言
学习数学的作用在于探索空间形式，了解数量之间的关系。而空间形式属于形，数量关系属于数，形属于直观表达，数属于符号表达，两者的优势和特点各不相同。但数和形之间是有内在关联的，充分利用两者之间的内在关联，以数研究形，以形表示数，从而形成了数形结合。
二、积极倡导以形助数，使抽象的概念和关系形象化
以形态的方式来帮助了解数量之间的关系。也就是说，对看起来属于代数方面的问题，利用形态的方式将代数中具有数量关系的几何特征描述出来，并经过处理后来实现关系、抽象概念与结构、直观表象的转化和联系，以解决相应的数学问题。对以形助数的方法进行运用，可以让抽象的数学概念变得直观简洁，而且可以引导学生从不同的角度来看待数学问题，进而形成不同的解题思路，不断促进学生思维的发展。此外，在特殊的情况下，以形助数还可以启发学生直接了解数学问题的核心与本质，形成整体性的综合判断能力，从而激发学生的直觉思维能力。
（一）引入图形，全方位感受数的内涵
在数学知识中，不管是整数、分数还是小数，其中都蕴含着丰富的数学知识内涵，教学内容和教学方式也多种多样。因此，数学教师应该依据不同的教学内容来采用合理的教学方式，让学生可以从多样化的教学方法中感受学习数学的乐趣。
比如小数教学遵循十进制的计数原则，将整数的书写形式改变成十进制的分数形式。虽然小数也遵循十进制的计数原则，但对于表达的数量类型来说，整数只可以表达出离散的数量，而小数可以表达出连续的数量。教师可以利用图形帮助学生了解小数的特点，引导学生进行比较、观察。
（二）借助图形，深层次理解计算方法
正确计算的前提是了解并探索计算方法，让学生根据已学的知识与经验，将数的运算含义、概念和计算步骤联系在一起，不仅知道数学题是如何做的，而且知道为什么要这么做。同时，还可以发挥数学的多元化价值，让学生了解到数学是严谨的，加深学生对数、运算的理解，进而形成良好的数学思维能力和丰富的学习经验。在数形结合中，最为典型的是分数乘除法的计算方法。在分数相乘的计算过程中，应把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的分母作为积的分母。为了让学生更好地理解这个说法，可以利用数形结合，将分数相乘的计算进行简单化，且直观生动。
（三）构造图形，多角度探索解题思路
在小学数学教学中，最为常见的教学策略是把数学题目中的问题、已知条件和数之间的联系用恰当的形态表示出来，然后对形进行直观的分析、研究，从而产生解决问题的思路与方法。一般而言，利用数形结合思想来解释数量关系更适合逻辑思维相对较弱的学生，用图形的方式更能激发小学生对数学问题的探索欲，进而提升小学生的想象力和创意灵感。为了更好地帮助小学高年级学生利用图形分析探索数学，数学教师应注重以下教学环节。
其一，一维图形的运用到二维图形的运用。小学生在低年级掌握了利用线段图形来表示数量关系，进入小学高年级以后，应学会利用二维图形来表示数量关系，以此提升分析能力与解答问题的能力。如在计算“1/2+1/4+1/8+1/16+1/32”时，教师应先鼓励学生根据学过的知识和经验自主计算，可以提示学生按照顺序依次进行计算或将分母统一换算成32进行计算，再引导学生通过图形来进行分析，探索出新的计算方式。如图1，从图形中可以得出原题的五个分数的和等于1与1/32的差。由此，将一道较为复杂的数学题简化为可以口算的减法数学题。
其二，静态图形到动态描述。动态描述指的是学生先根据对数量关系的理解画出图形，再根据题目中的关系和数量的变化进行修改调整，使图形可以更清晰地表达题目中的数量关系，进而打开学生的解题思路。例如：“学校体育组原来的男生占全组的6/13，后来又招了6名男生进体育组，此时男生占全队人数的8/15，问体育组原来的人数？”按照题目画出图2左半部分，会发现全队人数发生改变，不能直接将题目中的两个分数进行比较。那就换个角度，将全队女生作为单位1，并画出图2右半部分，则会发现新增的6名男生就占女生的8/7-6/7，由此就可以先算出女生的人数，再算体育组原来的人数。
三、相机尝试以数解形，使图形的结构和特征数量化
从数形结合的内涵来说，它有两个相反的方向转化，一个是由数到形，在运用过程中，适当以数解形，不仅可以帮助学生更好地理解描述图形的特征和相互之间的联系，而且可以拓展学生的解题思路;另一个是由形到数，根据图形之间的结构关系，找到合适的数学表达方式，让其特征和结构数量化，進而使几何问题变成算数问题。
（一）用数和算式表示图形的结构关系和特征
如图3所示，如果将边长为1cm的等边三角形的组成边长为10cm的等边三角形，需要多少个？
教师引导学生观察图中三角形的个数，先确定边长为1cm的等边三角形包括1×1个小三角形，边长为2cm的等边三角形包括2×2个小三角形，以此类推，等边三角形的边长为几，它包含的小三角形的个数就是几的平方。
（二）列方程表示图形的结构关系和特征
如图4所示，大长方形被两条直线分成了4个小的长方形，其中3个小长方形的面积分别是20cm2、25cm2、30cm2，求阴影小长方形的面积。
在遇到此类问题时，许多学生会先用大长方形减去三个已知的小长方形面积，最后得出阴影部分的面积，但大长方形的面积是不知道的，所以需要换一种解题方式。这时，教师可以引导学生作出假设：假设两个长方形的宽是相等的，那其面积比和边长比之间是否有关联？假设两个长方形的长也相等呢？由此引导出：假设阴影小长方形面积为Xcm2，可以得出算式25∶X=20∶30，求得阴影部分的面积为X=37.5cm2。
四、初步了解坐标方法，为后续学习提供支持
数轴很好地体现了数形结合思想，将数轴上的点和实数相对应，点可以看作数，数也可以看作点。另外，从点与直线的位置关系来看，可以通过数的运算来解决几何问题。将平面上的点和有序实数相对应，使点的平面曲线和数的二元方程式解集相对应，进而实现用几何法研究代数，用代数法研究几何图形。用几何法研究代数不仅将数形结合思想的应用变成具有可操作性的方法，而且将数学研究的对象从常量延伸至变量。
例如，利用坐标法要求学生在方格纸中将三角形标出来，根据物体参照点的距离和方向来确定位置，以此激发学生学习数学知识的兴趣。
（1）用数对表示图中三角形三个顶点A、B、C的位置。
（2）把三角形绕C点顺时针每次旋转 90°，一共旋转3次，画出旋转后的图形。
（3）用A1、A2、A3分别表示A点旋转后的位置，并用数对表示。
（4）顺次连接A、A1、A2、A3，看看得到的是什么图形。
学生在解答上述问题时，不仅可以加深对数形结合思想的理解，而且能直观地感受到有序数可以确定平面上点的位置的方法。
五、结语
综上所述，数形结合将精确与生动、抽象与直观充分结合在一起，是激发学生思维能力的基本方式，也是数学研究中将研究对象从常量延伸至变量的重要连接点。数形结合的渗透充分凸显出数与形之间的本质关系，既要注重以形助数的关系和概念，也要注重以數解形的规律与特征，同时深入理解坐标法对小学高年级数学教学的重要价值和意义，提升小学数学教学质量。
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