数字信号处理课程中利用DFT分析模拟信号频谱的几个问题
刘会衡 王正强 宋立新
摘 要：
DFT是数字信号处理课程中一种最重要的、应用最广泛的变换。利用DFT可以分析模拟信号的频谱，但谱分析过程中存在频谱混叠、栅栏效应和截断效应等问题。在改善这些问题的同时，需要注意高密度频谱和高分辨率频谱的区别。通过Matlab仿真可以直观明了地观察到这些问题，能有效提高教学效果。
关键词：
DFT; 谱分析; 数字信号处理; 模拟信号
中图分类号：TN911.72 文献标识码：A 文章编号：1006-8228（2020）06-13-04
Abstract：
The DFT （Discrete Fourier Transform） is one of the most important and widely used transformations in the course of digital signal processing. DFT can be used to analyze the spectrum of analog signal， but there are some problems in the process of spectrum analysis， such as spectrum aliasing， fence effect and truncation effect. When improving these problems， it is necessary to pay attention to the difference between high-density spectrum and high-resolution spectrum. Matlab simulation can directly and clearly observe these problems， which can effectively improve the teaching effect.
Key words：
DFT; spectrum analysis; digital signal processing; analog signal
0 引言
数字信号处理课程是电子信息类、自动化、机械工程等专业的一門重要专业基础课程[1]。主要内容包括离散时间信号和系统的基本概念以及时域分析方法、离散时间信号的FT和ZT变换、离散时间信号的DFT和FFT变换、系统的网络结构、FIR和IIR滤波器的设计等内容。数字信号处理课程是本科阶段专业领域一门非常重要的课程，理论性比较强，同时也是一门实践性和应用性都很强的课程[2]。课程的公式多，理论概念复杂，数学推导抽象，学生不容易理解和掌握[2-3]。在实际教学过程中，可以借助Matlab等仿真软件，以直观形象的方式来展现复杂的理论及其应用情况[4-5]。
DFT变换是数字信号实际应用中最常用的一种方法和手段，例如，利用DFT分析模拟信号的频谱，课程也对这一应用做了讲解，但在应用过程中，存在各种分析误差以及频谱分辨率等问题。
1 DFT变换
设x（n）是一个长度为M的有限长序列，则x（n）的N点DFT变换：
这里，N为DFT变换的长度，N≥M。DFT变换在时域是离散的、非周期的，在频域也是离散的、非周期的，所以适合计算机进行处理。
2 利用DFT进行谱分析
设x（t）为长Tp的有限长模拟信号，频谱X（jΩ）的最高频率为fc，现要求利用DFT对x（t）进行谱分析。DFT只能分析数字信号，所以首先需要对模拟信号进行采样得到离散信号，然后进行DFT变换。假设采样频率为fs，采样间隔为Ts，采用后的信号为x（n）。从信号与系统知识可知：时域抽样，频域周期延拓。抽样后，信号x（n）的FT变换为：
从而实现了模拟信号的DFT谱分析。
3 DFT谱分析的几个问题
以单余弦信号为例，利用DFT进行谱分析。
⑴ 频谱混叠
要进行DFT谱分析，首先要把模拟信号采样得到离散信号。x（t）的最高频率为1000Hz，根据采样定理Hz。如果采样频率fs不满足采样定理，则将会在fs/2附近发生频率混叠现象，此时用DFT进行谱分析，必然在fs/2附近产生较大误差。工程中一般取fs=（3-5）fc。确定采样频率fs前，一般需对信号进行预滤波，以滤除高于折叠频率的频率成分。在本信号分析中，取采样频率fs=4fc=4000Hz，则序列为：
⑵ 栅栏效应
由上述分析可知，对于有限长的带限信号，在满足时域采样定理时，可用利用DFT变换分析模拟信号的频谱，即可由X（k）恢复出X（jΩ）或x（t）。但由于X（jΩ）是连续的频谱，而X（k）是离散的频谱，所以由X（k）无法看到X（jΩ）的全部频谱，而只能看到N个离散采样点处的频谱，就像隔着栅栏看外面的风景，这就是DFT谱分析产生的栅栏效应。要改善栅栏效应，可在数据末尾添加一些0值实现。
⑶ 截断效应
实际谱分析中，模拟信号的x（t）可能是无限长的信号，计算机无法进行处理，需要进行截断，例如利用矩形窗进行截断，截断长度为Tp（数据长度为N）：
对式⑼求FT变换得到有限长序列y（n）的频谱，如图2所示。
余弦信号的频谱是在±1000Hz处的两根谱线，而图2所示截断信号y（n）的频谱显然不同，这是因为对信号做了截断处理，产生了误差。截断效应的第一个表现是频谱泄露，x（n）原来的频谱是在±1000Hz处的两根谱线，而截断后信号的频谱向±1000Hz两边进行了扩展，即频谱从±1000Hz处向外泄露了。截断效应的第二个表现是谱间干扰，从图2可以看出±1000Hz处的两根谱线不断向两边扩展，引起了频谱重叠，相互间发生了干扰，其原因是矩形窗的旁瓣引起的。要改善截断效应，可以采用缓慢变换的窗函数，如海宁窗、布莱克曼窗等，并截取更长的数据长度，以获得更多的数据信息。
⑷ 频谱密度与频谱分辨率
利用DFT对模拟信号进行谱分析，会產生栅栏效应。要改善栅栏效应，也即增加频谱密度，可以通过在数据末尾添加0值来实现。仍以信号x（t）/x（n）为例，若截取信号长度N=10，截取后的信号y1（n）的序列图如图3所示，图中虚线表示连续的余弦信号x（t）。
其M=10点的DFT频谱如图4所示。
图中虚线为y1（n）的FT变换。从图中可以看出，DFT变换就是在内对序列的连续频谱进行M点的等间隔抽样。
但是，由于只截取了10点的数据长度，频谱密度不高，要得到高密度的频谱，可以在数据末尾添加多个0来实现。这里在x（n）的后面添加90个0，即：
其M=100点的DFT频谱如图6所示。
对比图4和图6可以看出，在数据末尾添加0值，可以得到高密度的频谱，但频谱分辨率并没有改善，仍然无法观察到±1000Hz处的两根谱线。
其M=100点的DFT频谱如图8所示。
从图8可以看出，增加了截取的数据长度后，包含了更多的数据信息，频谱的分辨率提高了，从而可以精确得到模拟信号x（t）的频谱。
4 结束语
DFT变换中，信号是有限长的，其频谱也是带限的，非常适合计算机进行处理，所以DFT是数字信号处理中一种应用性很强的重要变换。利用DFT变换可以对模拟信号进行谱分析，但会产生频谱混叠、栅栏效应和截断效应等问题。要避免频谱混叠，需对模拟信号进行预滤波处理以获取信号最高频率，同时满足采样定理。要改善栅栏效应，得到高密度频谱，可通过在数据末尾添加0值来实现，由于并未改变数据的信息量，所以该方式无法提高频谱分辨率。要减小截断效应，获得高分辨率频谱，除了采用缓慢变换的窗函数外，最有效的方法是截取更长的数据，以保留更多的有用信息。在实际教学过程中，通过Matlab仿真，可以直观地观察到信号频谱的变化及其特征，将复杂、难懂的概念和应用，以简单直观的方式呈现给学生，能有效的提高学习效果。
参考文献（References）：
[1] 李宏年.数字信号处理课程教学方法探索[J].信息与电脑，2019.22：243-244
[2] 火元莲，齐永锋.信号类课程的实践教学改革与探索[J].高师理科学刊，2019.39（8）：87-90
[3] 赵发勇，刘积学，周小波.数字信号处理教学研究：基于问题学习的探究式教学案例[J].当代教育实践与教学研究，2018.11：203-205
[4] 孔令杰.应用型人才培养模式下的《数字信号处理》课程教学探究[J].中国教育信息化，2019.19：77-81
[5] 谭北海，彭秋明，姚小娇等.高等院校信号与系统课程教学辅助探究与实践[J].实验科学与技术，2018.16（2）：70-73
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