反璞归“根”再出发
茅莉萍
在解决数学问题遇到困难时，同学们可以尝试回想基本概念与基本方法，往往能有意想不到的收获。一元二次方程是我们初中阶段学习的重要知识，关于一元二次方程的根，同学们就可以到概念中去寻找解题的突破口。苏科版数学教材七年级上册第99页提出“能使方程两边的值相等的未知数的值叫作方程的解”，对于只含一个未知数的方程的解，也叫作方程的根。
一、回归根的概念，构造适当方程
苏科版数学教材九年级上册第35页“探索研究”第17题：
例1 写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是3、-2。
【分析】根据方程根的概念，可以逆向运用因式分解法解一元二次方程的过程，将所求的一元二次方程转化为两个根分别是3、-2的一元一次方程的乘积，故所求的方程可写成a（x-3）（x+2）=0。不同的a的取值可以对应不同的一元二次方程，同学们选择一个即可。一般地，取a=1，对应的方程最简单。
一般地，若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1、x2，可把方程写成a（x-x1）（x-x2）=0，即ax2-a（x1+x2）+ax1x2=0。
解：以3、-2为根的一元二次方程可写成a（x-3）（x+2）=0，令a=1，得x2-x-6=0。
变式1 已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的两倍。
【分析】本题可设新方程的根是y，再将已知方程的根用y表示。根据方程根的概念，将用y表示的根代入原方程，就能得到所要求的新方程。
解：设所求方程的根为y，则y=2x，即x=[y2]。把x=[y2]代入已知方程，得（[y2]）2+[y2]-2=0。
化简，得y2+2y-8=0，
故所求方程为y2+2y-8=0。
变式2 已知a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，且a≠b，求[ab+ba]。
【分析】根据方程根的概念，当已知的两个等式具有相同的结构，就可以把这两个元看成是关于某个字母的一元二次方程的两个根。
解：∵a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，且a≠b，
∴a、b为方程x2-15x-5=0的两个根，
∴a+b=15，ab=-5，
∴原式=[a2+b2ab]=[（a+b）2-2abab]=-47。
二、回归根的概念，寻找等量关系
苏科版数学教材九年级上册第33页“复习巩固”第5题：
例2 已知关于x的方程x2-6x+m2-3m-5=0的一个根是-1，求m的值。
【分析】根据方程根的概念，将x=-1代入原方程，可得含有m的等式，即关于m的方程，通过解关于m的方程，就能求出m的值。
解：∵x=-1是x2-6x+m2-3m-5=0的一个根，∴（-1）2-6×（-1）+m2-3m-5=0。
解这个方程，得m1=1，m2=2，
故m的值是1或2。
变式1 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为3和-2，求代数式[ab-3bc-aca2+b2+2c2]的值。
【分析】根据方程根的概念，将3和-2代入原方程，可得到两个关于a、b、c的等式，显然不能求出a、b、c的具体值，但是两个方程却为三个未知数的“消元”提供了可能。根据要求的代数式分子分母“齐次”的特征，找到用同一个字母表示其他两个字母来解决问题的策略。
解：∵3和-2是方程ax2+bx+c=0的两个根，
∴[9a+3b+c=0，4a-2b+c=0，]解得[b=-a，c=-6a。]
∵a≠0，
∴[ab-3bc-aca2+b2+2c2]=[-a2-18a2+6a2a2+a2+72a2]
=[-1374]。
变式2 已知a是方程x2-2020x+1=0的一个根，求代数式a2-2021a+[a2+12020]的值。
【分析】本题若尝试求出a的值再代入计算，显然比较烦琐，故应根据方程根的概念，将x=a代入原方程，就能得到含有a的等式。对这个等式进行移项变形，能得到一个关于a的“降次”公式，即a2=2020a-1，可达到对所求代数式化简的目的。
解：∵x=a是方程x2-2020x+1=0的根，
∴a2-2020a+1=0，
∴a2=2020a-1，
∴原式=2020a-1-2021a+[2020a-1+12020]
=-a-1+a
=-1。
三、回归根的概念，巧记韦达定理
蘇科版数学教材九年级上册第21页至23页，将“根与系数的关系”即韦达定理作为选学内容呈现，它为后续学习二次函数乃至高中的数学知识都奠定了基础。
在前文中提到，若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1、x2，可把方程写成为a（x-x1）（x-x2）=0，即ax2-a（x1+x2）+ax1x2=0的形式，在此基础上我们可以得到-a（x1+x2）=b，ax1x2=c，即x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]。
像这样回归根的概念巧记韦达定理，比起死记硬背，或者用求根公式来推导，便捷且准确率高。同学们不妨尝试在理解方程根的概念的基础上记忆，并灵活应用韦达定理，可以使原本的复杂问题简单化。
例3 已知关于x的方程x2-6x+m2-3m-5=0的一个根是-1，求m的值并求出该方程的另一个根。
【分析】这是例2的改编题。由例2可知，m的值是1或2，在这个基础上，同学们可以通过将m的值分别代入原方程，确定方程后再求解。虽然能解决问题，但这种做法不如灵活运用韦达定理来得简便。
解：设原方程的另一个根为x2。
由韦达定理可知-1+x2=6，故x2=7。
所以该方程的另一个根为7。
变式1 已知关于x的一元二次方程（x-b）2=a的两根为1和3，求a、b的值。
【分析】根据例2的变式1的分析，将1和3代入原方程，可得到两个关于a、b的二元二次方程，虽能求出a、b的值，但稍显烦琐。如能灵活应用韦达定理，此题的计算量就能大大降低。
解：整理（x-b）2=a，得x2-2bx+b2-a=0。
∵方程（x-b）2=a的两根为1和3，
∴x1+x2=2b=1+3=4，x1x2=b2-a=1×3=3，
∴b=2，a=1。
变式2 已知a、b是方程x2+2017x+1=0的两个根，求（1+2020a+a2）（1+2020b+b2）的值。
【分析】根据例2的变式2的分析，将a、b代入原方程，变形能得到关于a、b的“降次”公式，但仅有此并不能得到答案，还需灵活运用两根之积与系数的关系方能解决该问题。
解：∵a、b是方程x2+2017x+1=0的两个根，
∴a2+2017a2+1=0，b2+2017b+1=0，ab=1，
∴a2=-2017a-1，b2=-2017b-1，
∴原式=（1+2020a-2017a-1）（1+2020b-2017b-1）=9ab=9。
回归方程根的概念去思考，不仅能帮助我们寻找等量关系，继而得到新的方程、消元公式、降次公式等，还能帮助我们妙用韦达定理，解决数学问题。
（作者单位：江苏省无锡市侨谊实验中学）
猜你喜欢韦达所求等式圆锥曲线中“韦达结构与准韦达结构”问题探析中学数学杂志(高中版)(2021年2期)2021-06-02圆锥曲线中“韦达结构与准韦达结构”问题探析中学数学杂志(高中版)(2021年3期)2021-05-10所 求青年文学家(2020年25期)2020-09-27梦文苑·经典美文(2019年7期)2019-07-11一个连等式与两个不等式链新高考·高一数学(2018年5期)2018-11-22智力冲关·奇怪的等式家庭医学(2015年9期)2016-01-21直线与圆锥曲线问题中韦达定理的应用策略数理化学习·高三版(2015年3期)2015-10-21从简单的情况想起小学生导刊(中年级)(2007年8期)2007-07-23