定位·探究·建模·运用
陈爱弟
[摘 要]求多边形的内角和是让学生借助探索三角形内角和的经验来探索四边形内角和及其他多边形内角和，让学生经历量、画、剪、拼等操作活动，引导学生观察、思考、发现，把求多边形内角和的问题转化为求几个三角形内角和的问题，引导学生在转化中学会推理，在推理中找出规律，构建计算多边形内角和的数学模型，从而培养学生解决问题的能力。
[关键词]定位;探究;建模;运用;多边形内角和
一、立足教材，整体把握
“求多边形的内角和”的教学是先运用探索三角形内角和的经验来探索四边形的内角和，再借助统计表的形式，将图形、边数、内角和整合在一起，引导学生发现求多边形内角和的规律，从而积累合情推理的经验。为了更好地达成教学目标，笔者立足于教材内容本身，课前做好如下准备。
1.理解设计意图，明确培养目标
教材中的例7主要是让学生利用探索三角形内角和的经验来探索四边形的内角和，从而让学生在了解四边形的内角和是360度的基础上，进一步探索五边形、六边形等多边形的内角和，引导学生归纳规律，从而培养学生的简单推理能力。
2.抓准重点突破，重在操作和发现
在探究多边形内角和的过程，给予学生足够的时间和空间，从两个层次来突破教学重难点。
第一层次：先让学生通过观察发现特殊四边形的内角和是360度，再在此基础上通过合理猜想、不同的操作方法、不同层面的探究活动来验证四边形的内角和是360度。
第二层次：指导学生想办法求出六边形的内角和，促进学生转化思想的巩固。
在探索过程中，学生可能会用“剪拼”的方法，教师要让学生体会到使用剪拼的方法会出现重叠部分，不利于得出结论。为此，引导学生经历“转化”的方法（如图1）去探索结论，从而体会转化方法在数学学习中的具体应用。
二、优化教学，循序渐进
深入研读教材、钻研教法、充分的教学准备是有效落实教学目标的重要保障。教学中，笔者重在引导学生动手操作、自主探究多边形的内角和;教学方法上重在运用“转化与优化”的数学思想进行课堂教学，循序渐进地引领学生理解和掌握新知，在实践中建构数学模型，有效形成解决问题的方法，旨在培养学生数学能力，发展学生数学素养。
1.直观引入
教学时，立足于学生已有的探索三角形内角和的活动经验，笔者直截了当地抛出问题：“四边形的内角和是多少度？”在此之前，学生对四边形的知识已有了较深入的认识，包括四邊形的分类、特殊四边形的图形特征。因此，可以有意识地让学生观察图形，说出长方形、正方形的各个内角的度数，然后计算出特殊四边形内角和的度数是360度。
接着继续设疑问难：“那么一般的四边形的内角和是否也与长方形、正方形的内角和一样都是360度呢？”再追问：
“可以用什么方法求出一般四边形的内角和呢？” 本环节从特殊的四边形内角和入手，给学生提供一个直观观察与猜想的继续学习平台，从而引导学生经历获取数学知识的过程。
2.操作验证
问题的指向性有利于启发学生进一步求证知识的正确性，并激发学生在实践中寻找答案。而动手操作是一种借助五官的操作活动，在操作过程中多种感官参与学习，学生就能加深对知识的理解，学到获取知识的方法。
在操作中，学生利用已有经验对四边形内角和进行探究，并呈现多种解决问题的方法，如方法一：量角;方法二：剪拼;方法三：分成两个三角形;方法四：分成四个三角形;等等。
学生经历了不同层面的多种解决方法以及动手操作验证猜想，得出结论：一般的四边形内角和的度数也是360度。直观引入、操作验证可充分展现知识的形成过程，加上足够的操作与探究时间，推进学生去大胆求证，学生在操作、探索活动中获取知识，发展能力。
3.对比优化
教师处理好学生的课堂生成和教学预设是教学循序渐进的重要一环。
针对学生给出的不同方法，教师重在引导学生在多种可行的策略、方案或答案中筛选和优化，寻找最佳策略，以培养学生的数学能力。
通过让学生观察比较和讨论分析得出：
方法一量角时容易出现误差; 方法二剪拼时花费时间长，易受到外在操作条件的影响; 方法三简单易懂，观察可发现：
四边形的4个内角和与2个三角形的6个内角和是相等的;方法四将四边形分成的4个三角形后，发现4个三角形的所有内角和比原来四边形的内角和多了一个“周角”。
比起前两种方法，后两种方法更方便快捷、更科学，也更具有一般性，容易得出准确结果。
通过对比，学生理解了为何要把四边形转化成求几个三角形的内角和，并进一步感受到不管是特殊的四边形，还是一般的四边形的内角和都是360度的普遍性。
三、适度迁移，促成建模
迁移是一种重要的数学思维方法，它能够对相同性质的问题做到“及时联系”，提高学生对相同性质的问题的分析能力，从而推进学生的自我学习向着更高的层次发展。本课教学重难点在于让学生通过“画一画”，把多边形分成若干个三角形，再利用三角形的内角和求出多边形的内角和，并从中发现多边形与三角形的关系，从而构建数学模型。
1.放手探索，初步总结
在探索完四边形的内角和后，笔者再次追问：“你能想办法求出六边形的内角和吗？”学生有了丰富的求证经验，又有了之前“优化方法”的指引，快速地选择“画一画”的方法去解决问题， 而非“量角”与“剪拼”。学生的多种画法如图3所示。
在充分肯定学生的个人见解后，引导学生发现：计算六边形的内角和时，可借用求四边形的方法，把六边形的内角和转化成已学过的三角形或四边形的内角和来计算。学生对多边形内角和的计算方法有了更进一步的理解与掌握，有利于求各种多边形内角和模型的构建。
2.归纳类比，成功建构
在学生经历探究活动之后，教师有目的地培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力，并让学生在边数增加的变化中感悟数学知识蕴藏的模型与规律。
学生根据表1中的辅助线提示，通过观察顺理成章地发现：从一个顶点出发向对角连线，可以把多边形分成比边数少2的三角形个数，得出多边形的内角和=（边数-2）×180°，从而发现了多边形与转化后的三角形个数之间的关系。
解决问题的方法总是多样的，根据学生在探究四边形和六边形内角和时发现的方法，顺势出示第二种规律，即将多边形中间的一点与每个顶点连接起来（见表2），得到的三角形个数与多边形的边数一样多，但分成的所有三角形的内角和比原多边形的内角和多出一个中心角，即“一个周角”。因此，引导学生观察表格中的数据，可得出“多边形的内角和=边数×180°- 360°”的数学模型。
一个个探究活动，加深了学生对转化思想的运用。学生在不断的观察、分析、比较当中，合理地推导出多边形内角和的规律，并通过对比挖掘出知识间的联系，成功建立计算多边形内角和的数学模型，寻找出解决问题的方法。
四、综合运用，深层提升
为了让学生能够灵活运用已学知识，笔者在综合运用环节设计了两道不同层次的练习题，难易得当，层层推进。
一道基础题：求五边形的内角和、八边形的内角和、十一边形的内角和。目的是让学生能够学以致用，利用规律快速地解决问题，从而体会探索知识并获取知识的喜悦感。
一题有思考价值的题（如图4），目的是考查学生是否懂得灵活运用已学知识。
学生在解题过程中，通过思考把疑难问题转化为解决过的问题，从而巩固新知，锻炼了思维能力。
总而言之，要提升学生解决数学问题的能力和发展学生的数学思维能力，可以借助动手操作、探索实验、类比总结等方法，联系学生的已有经验和数学知识，引导学生利用转化思想架构未知与已知的桥梁，并应用经典方法合情推理，从而有效地构建“多边形内角和”的知识模型，使得知识之间更具连贯性和系统性。
（责编 罗 艳）
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