关注：从“类题探究”走向“策略总结”
吴静君
[摘 要] 以抛物线为背景的综合题常作为压轴题在中考中出现，考题的结构特点及设问形式虽有不同，但深入探索可全面认识考题，掌握类型问题的突破策略. 文章将以两道与几何面积及三角函数相关的问题为例，分析问题特点，总结突破策略，并提出相应的教学建议.
[关键词] 函数;面积;三角函数;思想方法
类题呈现，思路突破
考题1 如图1所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴的交于点A（-4，0）和B（2，0），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE，点D是第二象限内抛物线上的动点，回答下列问题.
（1）求抛物线的解析式;
（2）求△ADE面积的最大值及此时点D的坐标;
（3）若tan∠AED= ，求此时点D的坐标.
思路突破：（1）使用待定系数法，将点A和B代入解析式即可，可求得抛物线的解析式为y=- x2- x+6.
（2）求△ADE面积的最大值及点D坐标，可采用面积割补的方式，构建面积模型.
第一步：作图，构面积模型
过点D作y轴的垂线，设垂足为K，如图2所示，由面积割补可得S△ADE=S梯形DKOA+S△AOE-S△KED .
第二步——设点，推导线段长
设点Dm，- m2- m+6，则点K0，- m2- m+6，可推知KE=- m2- m+8，DK=-m，AO=4，OE=2.
第三步：代入，构建面积函数
结合面积公式可得S△ADE=S梯形DKOA+S△AOE-S△KED= ×（KD+AO）×OK+ ×AO×OE- ×KD×KE= ×（4-m）×- m2- m+6+4- ×（-m）×- m2- m+8=- m+ 2+ .
第四步：分析，求面积最值
由于S△ADE=- m+ 2+ ，分析可知当m=- 时，△ADE的面积最大，且最大面积为 ，此时点D的坐标为- ， .
（3）求tan∠AED= 时点D的坐标，需将其放在直角三角形中，利用边长比值求解.
第一步：作图，构建直角三角形
过点A作DE的垂线，设垂足为N，设DE与x轴的交点为F，如图3所示.
第二步：转化，提取线段条件
已知tan∠AED= ，则AN= ，NE=3 .
第三步：推导，推导关键点坐标
因为∠ANF=∠EOF=90°，∠AFN=∠EFO，则△AFN∽△EFO，由相似性质得 = ，又EF 2=OF 2+4，NF=3 -EF，则有 = ，解得OF=2，即F（-2，0）. 可求得直线EF的解析式为y= -x-2，联立y=- x2- x+6，y=-x-2， 又点D在第二象限，于是可解得D ， .
考题2 抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于点A和B，与y轴交于点C，直线y=x-5经过点B和C.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接PB和PC.
①当△PBC的面积最大时，求点P的坐标;
②连接AC，当tan∠PBO=2tan∠ACO时，请写出点P的坐标.
思路突破：（1）点B（5，0），C（0，-5），抛物线的解析式为y=-x2+6x-5.
（2）①结合割补思想，构建三角形“铅垂”模型来完成.
第一步：作图，构建铅垂模型
过点P作x轴的垂线，设与BC的交点为D，则PD将△PBC分割为同底（PD），异顶点的两个三角形：△PDC和△PDB. S△PBC=S△PDC+S△PDB，并且有S△PBC= ×PD×h1+h2，其中h1和h2分别为两三角形的高.
第二步：设点，推导线段长
设点P（m，-m2+6m-5），则点D（m，m-5），故PD=-m2+5m，而h1+h2的值实则就是点B和点C之间的水平距离，等于OB，即h1+h2=5.
第三步：代入，构建面积函数
S△PBC= ×PD×h1+h2= ×（-m2+5m）×5=- m- 2+ .
第四步：分析，确定最值情形
由于S△PBC=- m- 2+ ，分析可知当m= 时，△PBC取得最大面积 ，此时点P的坐标为 ， .
②给定三角函数条件求点P的坐标，需要结合直角三角形转化条件，进而求出点坐标.
第一步：构形，推导三角函数值
在Rt△AOC中，可知tan∠ACO= = ，故tan∠PBO=2tan∠ACO= .
第二步：转化，转化线段条件
当点P位于第一象限时，设为P′，过点B作直线BE，與抛物线的交点为P′，与y轴的交点为E，则tan∠P′BO= . 而tan∠P′BO= ，可解得OE=2，所以点E（0，2）. 结合点E和B的坐标可求得直线BE的解析式为y=- x+2，联立直线BE与抛物线的解析式，可求得此时点P′的坐标为 ， . 当点P位于第四象限时，设为P″，过点B作直线BF，与抛物线的交点为P″，与y轴的交点为F. 同理可求得点P″的坐标为 ，- .
综上可知，点P的坐标为 ， 或 ，- .
试题特点，解法剖析
上述两道考题背景均为抛物线与直线，典型特点是利用抛物线与直线交点，以及动点来构建几何图形，使得其中的图形具有“数”与“形”的性质，故可从几何与代数视角来全面探究. 同时点坐标是关联两大知识模块的关键，从点出发确定曲线或直线的解析式，结合点坐标又可确定线段长，进而研究几何性质. 两道考题的后两问均为几何面积与三角函数问题，所采用的方法及构建思路也是该类问题常用的解法策略，下面深入剖析.
策略一：割补构建，分步破面积最值
两道考题的第二问均是求解一般三角形的面积最值，可将问题分两步进行：第一步是求面积函数，第二步则是分析函数最值. 在函数背景中一般采用割补转化法来构建面积函数，即通过直线“割”或“补”，将一般三角形转化为特殊图形的组合，常见于特殊的四边形或三角形;然后设出点参数，结合面积公式来构建面积函数. 其中考题1是先“补”后“割”构建的面积模型，故面积函数构建较为一般，而考题2则是单纯的“分割”构形，并引入了“铅垂”模型，故整体思路更为简捷，但方法核心不变. 面积最值分析通常使用函数的性质，包括函数的单调性和顶点坐标. 因此在破解几何图形面积最值问题时，可采用如下思路.
第一步，图形分割，构建面积模型，割补思想是构形核心;
第二步，设定参数，构建面积函数，参数思想是构建核心;
第三步，函数分析，利用函数性质分析最值，完成求解.
策略二：直角转化，破解三角函数
两道考题的最后一问均是关于三角函数条件的求点，突破的关键均是转化三角函数，提取相关条件. 三角函数是初中数学较为特殊的内容，是衔接初中与高中数学的重要知识. 在初中阶段，对三角函数的定义及转化均需要借助直角三角形，利用边长比例关系来构建三角函数值. 故该类问题突破同样需要经历“构建”和“转化”，其中“构形”阶段需要依托三角函数所涉角来构造直角三角形，将其放置在直角三角形. 而“转化”阶段则有两种思路，一是将三角函数条件转化为与线段相关的条件;二是借助三角函数关系，转化为相应的等角关系. 因此在破解三角函数问题时，可采用如下思路.
第一步，提取三角函数所涉角，依托几何角构建直角三角形;
第二步，利用直角三角形分析三角函数条件，将其转化为线段条件或等角关系;
第三步，结合上一步转化的条件来分析问题，利用几何与函数知识来求解.
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