巧用概率做决策
刘元平
生活中，我们经常遇到这样的问题：想买件衣服，商家在搞不同的促销方案，怎么买才合算呢？要派出一位同学去参加数学竞赛，现有两个人选，派谁去获奖的可能性更大呢？要作出选择，可以大量收集和整理数据，但这需要耗费大量的精力和时间. 怎样才能简化选择程序呢？我们不妨借助概率这个工具.
例1（2021·浙江·金华改编）某商城组织抽奖活动，共准备了1 000张奖券，且每张奖券获奖的可能性相同，并规定每购买商品1 000元，就能获得一次抽奖的机会. 设一等奖10个，每张奖券返现金1 000元;二等奖20个，每张奖券返现金100元;三等奖80个，每张奖券返现金10元. 如果顾客不愿意抽奖，也可以直接返现金10元. 如果你在该商城购物满1 000元，你会选择抽奖还是直接返现金？请说明理由.
分析：通过计算抽到一、二、三等奖的概率来估算出获得一、二、三等奖的返还现金，再求和得到抽奖一次获得的平均返还现金，再与直接返还的现金比较大小，从而得出两种方案中更合算的方案.
解：P（[抽中一等奖]）[=101 000=1100]，
P（[抽中二等奖]）[=201 000=150]，
P（[抽中三等奖]）[=801 000=450]，
[抽奖一次平均返现金=1100×1 000+150×100+450×10=12.8]（元）[ >10]（元）.
答：我会选择抽奖，因为抽奖得到平均返还现金的数额大于10元.
点评：估算是解决问题的第一步，概率计算是估算的基础工具.
例2（2021·浙江·嘉兴改编）读了《田忌赛马》的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌外出游玩，两人各自都有上、中、下三个等级的三匹马，养马人将各自马匹随机牵出，齐王不事稼穑，不辨马性，总是选牵来的第一匹马，而田忌则是先观察马的状况后选马：第一匹马他都不选，而是观察马的状况，如果第二匹马比第一匹马好，他就選第二匹马，如果第二匹马没有第一匹马好，他就选第三匹马.如果是你，你会选择谁的方案来选出上等马？为什么？
分析：首先通过列表或画树状图找出马匹出场的所有等可能情况，然后再根据齐王和田忌各自的方案进行选择，最后比较各自选出上等马的概率大小，即可得解.
解：画树状图表示所有等可能的结果（如图1）：
P（[齐王选上等马]）[=26=13]，P（[田忌选上等马]）[=36=12].
答：我选择田忌的方案来选上等马，因为田忌的方案选中上等马的概率大.
点评：本题中齐王和田忌的选马方案不一样，这是变化的量，但两人马匹牵出的方式是一样的，这是有共性的地方，是不变的量，因此解题的关键就在于从变化中找不变，从不变入手，将复杂问题线性化、层次化、简单化.
例3（2021·湖北·黄冈改编）2021年，黄冈、咸宁、孝感三市实行中考联合命题，为确保联合命题的公平性，决定采取三轮抽签的方式来确定各市选派命题组长的学科. 现确定了两种方案. 方案一：第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科;第二轮，各市从物理、化学、历史三个学科中随机抽取一科;第三轮，各市从道德与法治、地理、生物三个学科中随机抽取一科. 方案二：第一轮，各市从语文、数学、英语三个学科中随机抽取一科;第二轮，各市从物理、化学、地理三个学科中随机抽取一科;第三轮，各市从道德与法治、历史、生物三个学科中随机抽取一科.
（1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是 ;
（2）用画树状图或列表法求黄冈在第二轮和第三轮抽签中，选择哪种方案抽到的学科恰好是历史和地理的可能性大.
分析：第（2）小题要求抽到历史和地理的概率，但方案一和方案二中第二轮和第三轮中备选学科都不一样，因此应分别计算概率，然后比较大小.
解：（1）黄冈在第一轮抽到语文学科的概率是[13].
（2）画树状图表示所有等可能的结果（如图2）：
[方案一][第二轮][第三轮][开始][物理][道法][生物][地理] [化学][道法][生物][地理] [历史][道法][生物][地理] [方案二
][第二轮][第三轮][开始][物理][道法][生物][历史] [化学][道法][生物][历史] [地理][道法][生物][历史]
图2
∴P（[方案一抽到历史和地理]）[=19]，P（[方案二抽到历史和地理]）[=19].
答：两种方案抽到的学科恰好是历史和地理的可能性一样大，选择任一方案均可.
点评：利用概率可以对相同事件在不同方案中发生的可能性进行估算和预测，通过比较概率的大小可对方案进行优选.
（作者单位：江苏省泰州市姜堰区桥头初级中学）
猜你喜欢田忌奖券黄冈奖 券语文世界(小学版)(2020年6期)2020-06-19好雪片片作文周刊(中考版)(2019年20期)2019-06-30“黄冈密卷”：教辅材料“造神”的不良示范江西教育A(2018年7期)2018-11-09赠黄冈诗词学会东坡赤壁诗词(2018年3期)2018-07-16株洲荷塘查获槟榔假奖券中国防伪报道(2018年1期)2018-05-14《黄冈密卷》究竟从何而来新传奇(2018年27期)2018-05-14群策“错位相减法”新高考·高一数学(2017年4期)2017-07-14好雪片片作文周刊·高二版(2016年33期)2017-04-13田忌赛马儿童故事画报(2016年4期)2016-06-24黄冈电信中兴固网软交换SS设备1：0容灾机制的浅析移动通信(2014年14期)2014-09-10