剖析计算失误原因，提出教学建议
王松英
[摘 要] 文章以4的平方根计算失误为例，具体阐述在初中数学计算中常见的失误原因有思维定式的影响、新旧认知冲突与程序跳跃性错误等. 为了避免这些问题对计算的影响，笔者从顺应学生认知发展需求，认识计算与结果的关系和建立概念与符号的认识三方面出发提出相应的教学建议.
[关键词] 平方根;计算;思维定式
运算能力是初中学生必备的基本技能之一. 新课标明确提出：“要注重学生的符号意识、数学感觉与运算能力等的培养[1] . ”计算作为体现运算能力的重要指标之一，在数学教学中具有举足轻重的作用. 但从当前学生的实际计算水平来看，总存在着一些不尽如人意的地方，不少学生在一些简单的计算中出现失分的现象让人感到十分惋惜. 鉴于此，笔者以4的平方根计算失误为例，具体剖析计算失误常见的原因，并提出几点教学建议.
常见计算失误原因
1. 思维定式的影响
从心理学角度来看，思维定式是一种习惯性的反应，它具有促进问题解决与阻碍问题解决的双重效应. 在初中数学计算中，学生受小学计算经验的影响，容易出现一些因思维定式产生的计算错误. 笔者在教学中发现高频率出现的受思维定式影响的计算错误有：（a+b）2=a2+b2;sin（A+B）=sinA+sinB;4的平方根为2等.
出现4的平方根为2的错误，从思维定式的角度分析，主要因小学时期对数的认识仅仅停留在正数上，对有理数尚未形成一个完备的体系，习惯性地认为4的平方根为2，而忽略了-2这个结论.
2. 新旧认知的冲突
新知的构建都是建立在旧知的基础上的，而新知替代旧知必须经历一个矛盾冲突的过程，有些学生在此过程中容易产生计算上的错误. 在对算术平方根有一定认识的基础上学习平方根时，在概念模糊的状态下，学生更倾向于用已有的知识结构代替新知，或将两者合二为一地使用.
计算4的平方根时，学生因无法清晰地辨识平方根与算术平方根这两个概念，而将它们混为一谈，在模棱两可中出现偷梁换柱的现象. 理所当然地认为2的平方为4，那么4的平方根必然为2.
3. 程序跳跃性错误
教学中，我们常发现一些计算能力较强的学生在计算时条理清晰，过程明朗. 但一些运算能力较弱的学生，计算的精确度就大打折扣，尤其是涉及混合运算的计算，有些学生懒得书写计算步骤，从而出现程序跳跃性错误，这也是初中数学计算中最常见的错误原因之一. 如一元二次方程的计算，一些学生未能掌握移项、去括号、合并同类项等计算顺序，导致因程序混乱而出现计算错误.
平方根概念的形成主要建立在方程思想上，而方程思想又建立在代数结构的基础上形成一种正序或倒序的综合体，这种综合体是正向思维与逆向思维的体现. 表征4的平方根时需要动用逆向思维，这给部分学生带来了一定的思维障碍，从而出现程序跳跃性的错误，单纯地认为4的平方根为2.
避免计算错误的教学建议
学生出现的任何错误信息表征都与教学有着千丝万缕的联系. 作为教师，应剖析学生计算错误形成的根本原因，从而改进教学设计与教学方式，以提高学生的运算能力. 笔者在近些年的教学中，着手研究了如何避免计算错误发生的教学方法. 在此，提出以下几点教学建议.
1. 顺应学生认知发展需求
皮亚杰的认知发展理论中提到：儿童认知发展的第三和第四阶段是具体运算阶段与形式运算阶段. 其中，第三阶段（即具体运算阶段）的儿童思维活动离不开具体事物或内容的支持，而第四阶段（即形式运算阶段）的儿童思维则不需要具体事物或内容支撑 [2].
例如平方根这部分知识的学习，该时期学生的认知水平还处于具体运算阶段或三四阶段的交界处. 此时若想获得平方根知识，自然离不开具体事物或内容的支持. 因此，教师可借助具体的事物帮助学生实现平方根知识的内化.
在练习中，教师也不能将眼光只停留在问题的答案是否正确上，更重要的是鼓励学生将概念获得的过程与结果完整地表述出来. 如求出4的平方根，可鼓励学生如此表达：因为（±2）2=4，所以4的平方根为±2. 将所表达的信息看作一种习惯或固定形式来执行，就容易形成一种条件反射. 学生在个案中强化对概念的认识，对于一些习惯于过程型导向的学生效果尤为明显.
将整体学习分解为一个个局部记忆，学生在“刺激——反应”的惯性中逐渐实现量变到质变的飞跃，这为提升学生的思维搭建了良好的平台. 因此，顺应学生认知发展的规律，完整学生计算练习的过程是避免计算错误发生的基础.
2. 认识计算与结果的關系
为了让学生理解计算规律，掌握计算技巧，教师真可谓是费尽心机. 不少教师将学生引入他们所熟悉的运算领域，利用类比的方法来进行各种计算，如加减法或乘除法的逆运算等. 在平方根教学时，将开平方与乘方的逆运算放在一起思考，这种做法无可厚非，但开平方与乘方还是有区别的，乘方的计算与结果是一一对应的关系，而开平方则不一定，这就要看运算形式的域与运算结果的域是否在同一范围内.
如有理数范围内的加法，其结果对应有理数，而开平方的作用的域是非负实数的范围，其结果却是全体实数，此时就会出现关于0对称的正负实数，式子与结论不是逐一对应的关系.
为了让学生理解这种非一一对应的关系，教师可通过数形结合（见图1）的方式加深学生的印象. 这种不是一一对应的关系与后期所学的点与实数在数轴上是一一对应的内容形成类比. 在平方根阶段强调对应思想可为后期的函数思想做铺垫，这对后期涉及函数中自变量x的值与y一一对应的教学大有裨益.
平方根的重要性质之一就是计算结果具有不唯一性的特征，教师强调计算与结果不是逐一对应的关系，就是强化学生对此性质的理解. 此知识点的教学需用一定数量的计算来训练学生的熟练性，学生在练习中感悟开平方与普通运算的区别，以形成开平方的条件反射，提高计算正确率.
3. 建立概念与符号的认识
符号意识是新课标提出的十个关键词之一，主要指在理解的基础上用符号来表示数学现象的变化规律或数量关系. 符号意识的建立是实现数学表达与思考的重要形式之一. 符号作为理学科特有的表现形式，其形成经历了漫长而又曲折的过程，具有深厚的文化底蕴与内涵. 符号可视为一种特殊的记号，反映了数学现象或事物的逻辑关系或内在结构，是诱导学生思维发展的刺激物 [3].
平方根的概念就是通过符号信息与文字信息进行组合阐述的，在表征平方根信息时可借助符号的功能. 例如表征的主问题是开4的平方根，可先写± ，再将要执行的4代入根号内，这样就能减少丢掉-2的可能. 用这种方式表征的前提是要有良好的符号与概念对应意识，将± 与平方根准确地对应起来.
从广义上来看，数学学习并不完全是为了知识，知识是文化的表现形式，因此，数学学习从根本上来说就是文化的传承. 教师从这个高度来看待数学教学、设计教学活动，就会真正起到教书育人的效果. 而传统的教学模式是机械式地向学生介绍 这个符号，这就显得过于生硬，学生也难以消化. 教师可鼓励学生参与平方根符号的设计活动或讲述平方根符号形成的历史文化等，以此为铺垫引出平方根的符号与概念. 因有数学文化的润泽和活动的支撑，学生对平方根概念与符号的认知建立会更加牢固.
总之，学习是一个训练心理与行为能力的复杂过程. 教学中的任何一个细节都会对学生的认知产生一定的影响. 作为数学教师，应立足于学生的认知发展需求与规律，重视学生计算能力的培养，根据学生的兴趣全方位地关注整个教学过程，避免因思维定式、新旧知识互相影响以及程序错误而导致一些计算错误的发生.
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部. 全日制义务教育数学课程标准[S]. 北京：北京师范大学出版社，2011.
[2]郑毓信，梁贯成. 认知科学——建构主义与数学教育[M]. 南京：江苏教育出版社，1999.
[3]张庆林. 走進学生心灵 把握教学细节——谈轻负高质的数学教学策略[J]. 初中数学教与学，2016（16）.
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