课程思政元素融入高职高等数学的教学探讨
应希源 萨彬含
[摘 要] 以高职院校高等数学曲线上一点处的切线定义教学为例，引入嫦娥五号探月工程视频片段创设问题情境，增强学生的民族自豪感和文化自信感。通过返回器的半弹道跳跃式再入返回方式，让学生了解科学家精益求精、科学严谨的态度。通过研究轨道曲线一点处的切线，激发学生发扬先辈们勇于探索、不断创新的精神。
[关 键 词] 高职;课程思政;高等数学;探讨
[中图分类号] G712 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2021）32-0090-02
一、引言
切线问题是导致微积分诞生的最重要问题之一，切线斜率作为导数概念的引例，已出现在今天的任何一本微积分教材中[1]，但曲线上一点处切线的定义往往在教材中直接给出，部分高职学生因缺乏对该定义历史背景的了解，对理解该定义存在一定的困难，从而在学习导数概念前就产生畏难情绪。应用课堂教学，引入课程思政元素，让高职学生了解曲线上一点处切线定义的演变，认识该定义背后的历程及艰辛，对提高高职学生学习兴趣、消除畏难情、培养坚强的毅力具有重要的意义。
学者任卫兵[2]以曲线上一点处的切线为例，从数学史视角出发，提出了基于HPM视角的概念、教学实践与思考。学者邓迎春[3]用发生教学法设计和实施“曲线上一点处的切线”的教学。本文在此基础上，针对高职学生，以嫦娥五号返回器的一段轨迹为例，引入课程思政元素，对曲线一点处的切线定义进行教学探讨。
二、教学设计思路
本節课将课程思政元素融入教学中，以“创设情境—提出问题—分析问题—解决问题”为主线，进行曲线上一点处的切线定义的教学探讨。通过嫦娥五号探月升空视频片段，介绍嫦娥五号取得的举世瞩目的成就，并从返回器“打水漂”的半弹道跳跃式再入返回轨迹提出问题，探讨曲线上一点处切线的定义。教学内容和思政元素的联系和逻辑关系如图1所示。
三、教学过程
（一）创设情境，提出问题
以嫦娥五号发射的视频片段作为引例，简要介绍嫦娥五号发射的意义，嫦娥五号返回器采用“打水漂”的半弹道跳跃式再入返回方式安全着陆，划出了优美的曲线，返回器着陆前的一段轨迹如图2所示的曲线。基于此背景设计问题：如何描述轨迹上一点处返回器的运动方向？学生思考后，根据已有的知识，回答可由轨道上该点处的切线方向来确定。接着追问：那如何确定轨道上一点处的切线呢？
（二）分析、解决问题
如何确定曲线上一点处的切线？部分学生利用已有圆的切线定义可得出，在曲线上一点处直线与曲线只有一个公共交点，则该直线为曲线在该点处的切线。教师引导学生举出反例如图2（a）所示，曲线在A点处，直线与曲线均只有一个交点，但不是曲线在该点处的切线。因此，圆的切线定义不能直接应用于任意的曲线。
教师再引导学生回顾高中所学的圆锥曲线的切线定义：圆锥曲线的切线与圆锥曲线只有一个公共点，且全部在圆锥曲线之外的直线。该定义是否适用于任意曲线呢？学生思考后可举出反例如图2（b）所示，直线是曲线在B点处的切线，但该切线与曲线有两个交点，且不在曲线之外，因此，不能将圆锥曲线的切线定义直接应用于本问题提出的曲线，那曲线任意点处的切线又该如何定义呢？
因高职高等数学教材省略了切线概念的历史背景，直接给出了曲线切线的定义，学生难以理解，因此，教师引导学生简要回顾曲线一点处切线定义的历史演变[4-5]，从圆锥曲线切线定义到高等数学教材曲线一点处切线的定义，经历了约2000年的演变，其中较为典型的有阿基米德切线定义、笛卡尔“等根法”求切线、费尔马“极值法”求切线、巴罗的“特征三角形法”求切线、牛顿的“流数法”和莱布尼兹的“坐标差分法”求切线、达兰贝尔切线定义等。其中阿基米德将螺旋线的切线看作与螺旋线只有一个公共点，且落在螺旋线之外的直线，仍从公共点的个数角度来研究切线。直到17世纪，笛卡尔、费尔马、巴罗等才给出求曲线切线的一般方法。牛顿的“流数法”和莱布尼兹的“坐标差分法”是在没有建立极限理论的基础上提出的，在欧洲大陆流传了半个多世纪。随着极限理论的逐步发展，达兰贝尔给出了曲线一点处切线的定义：割线与曲线的两个交点变成一个点时割线的极限，但该定义仍然没有把“两点变成一点”这一过程形象化描述出来。
随着极限理论的逐步完善，约在19世纪才产生了现在高等数学教材上的定义，目前高等数学教材中曲线一点处切线的定义为：设有曲线C及C上的一点M，在点M外另取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线，这里极限位置的含义是：只要弦长|MN|趋于0，∠NMT也趋于0[6]，根据该定义，如果当点N沿曲线C趋于点M时，如果极限k=存在，则该极限就是切线MT的斜率。
学生了解曲线一点处切线定义的历史演变后，根据高等数学教材所给的定义，便可做出嫦娥五号返回器着陆前的一段轨迹曲线上点M的切线，如图3所示，直线MT即为曲线在点M处的切线。
（三）定义的应用及探讨
例1.如何根据定义找出曲线在M点处的切线？
部分学生根据“切线是割线的极限位置”很难理解具体哪条直线才是割线的具体位置。如当N点沿着曲线跨过M点过程中，当M点与N点完全重合时，直线与曲线只有一个交点，而过一点的直线有无数条，究竟哪一条才是曲线在M点处的切线呢？此时可引导学生紧扣定义，学生可根据定义中的当弦长|MN|趋于0时，∠NMT也趋于0，则可判断MT就是所求的切线，求出极限k=，便可得到点M处切线的具体位置。
例2.切线MT是曲线的割线吗？
部分学生对曲线一点处切线定义中的“割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT”时容易误认为“切线MT仍然是与曲线相交于两点的割线”（如图3）。根据极限的定义，当x趋于x0过程中，x≠x0，割线并不是切线，割线极限位置的直线才是切线，因此，当曲线的切线存在时，在该点处的某个领域内，曲线的切线与曲线只有一个交点。
例3.曲线在一点处是否可导可以作为曲线在该点处切线存在的判定条件吗？
在学习导数概念后学生容易对曲线一点处切线的定义产生一些误解，如容易根据曲线在一点处是否可导来判断曲线在该点是否有切线。以y=在x=0处是否有切线为例，函数y=在x=0处导数不存在，但y轴是曲线在该点处的切线，所以，需灵活运用定义“只要弦长|MN|趋于0，∠NMT也趋于0”来确定曲线的切线，曲线在一点处可导是曲线在该点处切线存在的充分但不必要条件。
（四）课程小结，落脚育人
通过嫦娥五号发射的视频片段，展示祖国国力越来越强大，增强学生的民族自豪感和文化自信感。再以嫦娥五号返回器的半弹道跳跃式再入返回方式，让学生了解我国科学家精益求精、科学严谨的态度。回顾曲线一点处切线定义的历史演变，让学生深知数学严密的科学思维方法及数学理论工作的不易，激发学生发扬先辈们勇于探索、不断创新的精神。
四、结语
以高等数学中曲线一点处的切线定义为例，将思政元素融入教学中，通过知识点的层层递进，在掌握曲线一点处切线定义的同时，激发学生的民族自豪感和文化自信感，发扬先辈们勇于探索、不断创新的精神。
参考文献：
[1]吴甬翔，汪晓.曲线的切线：从历史到课堂[J].高等理科教育，2009（3）：38-43.
[2]任卫兵.基于HPM视角的概念课教学实践与思考：以“曲线上一点处的切线”为例[J].数学教学研究，2020，39（1）：30-33.
[3]邓迎春.HPM视角下的“曲线上一点处的切线”教学[J].中学数学研究，2020（10）：20-26.
[4]张赟.切线定义的演变及其作用[J].广西师范学院（自然科学版），1999，16（2）：42-49.
[5]孟素红.曲线切线定义的演变[J].高中数学教与学，2015（12）：15-16.
[6]同济大学应用数学系.高等数学（第五版上册）[M].北京：高等教育出版社，2003.
◎編辑 栗国花
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