小学数学课堂教学中的思维训练
曹广福
摘要：小学高年级数学教学，要注意通过合适的问题，引导学生进行深入的思考，领悟内在原理，得到必要的数学思维训练。“2、5、3的倍数的特征”的教学，不能只引导学生通过观察分析、归纳概括来发现规律、得到结论，还要通过问题链引导学生进一步搞清楚结论的内在原理，把握十进位值制记数法这一本质，体会数位分解这一思想方法。
关键词：数学思维;2、5、3的倍数的特征;数位分解
数学是思维的科学。小学数学课堂教学也需要通过有效的措施，“使学生得到必要的数学思维训练”。但如何落实到具体的课堂，则对一线教师提出了挑战。本文以人教版小学数学五年级下册第二单元《因数与倍数》第二节“2、5、3的倍数的特征”为例，谈谈小学数学课堂教学中的思维训练。
一、止步于不完全归纳法的教学，思维训练便无从谈起
“2、5、3的倍数的特征”通常是分为《2和5的倍数的特征》《3的倍数的特征》两节课来教学的。也就是说，学生对“3的倍数的特征”的认识，是建立在学习了“2、5的倍数的特征”的基础上的。
先来看《2、5的倍数的特征》一课的教学。有一份教案设计了这样的教学过程：
【片段1】 发现5的倍数的特征
1.出示几道有关5的乘法算式，让学生口算。
2.师：观察这些算式有什么共同点？（都是一个数乘5）这说明算式结果跟什么数有关系？是什么关系？（都是5的倍数）
3.师：你知道怎样的数是5的倍数了吗？请仔细观察这些数。
4.学生自由发挥，教师辅助总结。
5.得出结论：个位上是0或5的数都是5的倍数。
6.验证：学生自己出几个数，然后计算。发现：都与个位有关系。
7.小结研究方法：口算—观察—验证—结论。
【片段2】 发现2的倍数的特征
1.出示几道有关2的乘法算式，让学生口算。
2.师：大家知道我们接下去要研究什么了吗？（2的倍数的特征）猜想一下：会跟什么有关系？
3.师：大家能用刚才的方法自己研究吗？
4.小组合作，教师巡视指导。
5.反馈：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
6.随机出几个数，让学生列算式验证。
7.师：这些数，我们平时叫作双数，在这里叫作偶数;2的倍数叫作偶数。
8.师：你能说几个偶数吗？谁又能说几个特殊的偶数呢？最大的偶数是——（没有）最小的偶数呢？（0）
9.师：偶数的近义词是什么？（双数）那反义词呢？（单数、奇数）
上述教学，引导学生通过观察、分析，归纳出结论。这种方法称为不完全归纳法。然而，学生虽然得到了结论，却没有进一步思考“为什么判断一个数是不是2或5的倍数，只要看个位数”。缺少了这一步，学生后续学习“3的倍数的特征”时，又如何能理解“判断一个数是不是3的倍数，要看各位上数的和”？
这种从个别现象出发，通过不完全归纳得出一般结论的教学方法，对于小学低年级学生是合适的，因为他们尚处于待启蒙阶段，还不具备理解数学原理的能力。对于学生思维能力的缺失，有人认为：“根本原因就在于，从一年级开始回避算理、原理、思想方法，到了高年级，学生也不会。思维方式和学习习惯是从小开始慢慢养成的，低年级、中年级不感悟，到了五年级突然让学生发现，学生可能会吗？只有几个‘学霸可能会。”坦白来说，我不完全赞同这段话。人的认知发展需要经历启蒙、启智等若干阶段。小学低年级学生好比一张白纸，无论是知识积累还是思维能力都很欠缺，他们需要的是启蒙。企图对低年级学生讲清楚一些数学概念或结论的“所以然”恐怕是徒劳的，只能通过一些具体的例子让他们体会。高年级学生经过了几年的学习，通过“例子+归纳”的方法初步积累了一定的知识，大脑也日渐发育成熟，具备了一定的认知建构能力和逻辑思辨能力，能够感悟数学的基本原理了。这时候的教学如果还是停留在不完全归纳法的层面，学生的数学思维能力将很难得到提升。
二、通过合适的问题，领悟内在原理，思维才能螺旋上升
（一）“2、5的倍数的特征”的教学
根据2、5的倍数特征的内在原理，我们可以重新设计问题链。
问题1同学们回顾一下，20与10、300与100、4000与1000之间分别是什么关系？
学生应该不难回答：20表示两个10相加或10的2倍，即20=10+10=2×10;300表示三个100相加或100的3倍，即300=100+100+100=3×100;类似地，4000=1000+1000+1000+1000=4×1000。
分析这个问题，是为了后面的数位分解。
问题2如果两位数、三位数、四位数的各位上的数都不等于0呢？例如，985、211是什么意思？
这个问题，学生回答起来可能有一定的难度，因此，不妨稍微分解一下：百位数为9是什么意思？十位数为8是什么意思？由此，学生可以得到：985指的是9个100、8个10与1个5的和，即985=9×100+8×10+5;类似地，211=2×100+10+1。
这样分解是为了后面进一步分析得到：由于十位数、百位数、千位数所表示的数都是2、5的倍数，所以关键看个位数是不是2、5的倍数。但是到这一步还不够，因为这里涉及几个数的和，需要进一步引导学生分析。
问题3如果兩个数都是2的倍数，它们的和或差是不是2的倍数？如果一个数是2的倍数，另一个数不是2的倍数，它们的和或差是否可能是2的倍数？请通过例子说明你的答案。
学生不难举例说明（教师可以适当引导）。例如，14、24都是2的倍数，所以14+24也是2的倍数，因为（14+24）÷2=14÷2+24÷2=7+12=19。又如，14是2的倍数，11不是2的倍数，所以14+11不是2的倍数——因为如果14+11是2的倍数的话，那么（14+11）-14也应该是2的倍数，但这是不可能的。
有了这些准备，就可以抛出主要问题了。
问题4你能总结出什么数是2或5的倍数的一般规律吗？不妨多观察几个例子。
课堂上，可以由教师给出若干个数，或由学生自行拟出若干个数，进行归纳或检验。学生应当不难得到结论：如果一个数的个位数是2的倍数，则该数一定是2的倍数;如果一个数的个位数是5或0，则该数一定是5的倍数。
要让学生搞清楚原理，我们还需要往前再走一步。
问题5为什么看一个数的个位数就能知道一个数是不是2或5的倍数？你能以若干个两位数和三位数为例，解释清楚其中的道理吗？
基于之前的数位分解以及“和、差倍数关系不变性”，学生是可以举例说明的（教师也可适当引导）。例如，212=2×100+10+2，211=2×100+10+1，由于2×100与10都是2的倍数，2也是2的倍数，所以212应该是2的倍数;但1不是2的倍数，所以211应该不是2的倍数。教师可以引导学生通过数位分解的除法计算来验证：212÷2=（2×100+10+2）÷2=2×100÷2+10÷2+2÷2=100+5+1=106。
在此基础上，教师还可以进一步帮助学生总结一个数是2或5的倍数的一般规律：因为十位数、百位数、千位数、万位数等都是10的倍数，它们都是2、5的倍数，它们的和当然也是2、5的倍数，所以只要个位数是2或5的倍数，这个数就一定是2或5的倍数。
这里，让学生通过数字举例解释一般的道理，而不通过一般的字母表达给出严格（形式化）的证明，正是基于学生年龄特点与接受能力的考虑，体现“淡化形式，注重实质”的思想。
（二）“3的倍数的特征”的教学
关于3的倍数的特征，教材提供了一份图表（见下页图1）让学生观察、分析，归纳出结论;同时，在这一节的练习后安排了一个《你知道吗？》栏目（见下页图2），尝试让学有余力的学生搞清楚2、5、3的倍数特征的内在原理。
不过，窃以为，搞清楚2、5、3的倍数特征的内在原理应该是课内的教学内容，不应该放在课外阅读性质的栏目中;而且，教材的设计并没有讲清楚为什么要对24与2485做数位分解，依然是告知式的，并没有引导学生去发现分析这类问题的内在思想方法——数位分解。
因此，教师应该努力让学生明白，为什么需要通过数位分解来分析数的倍数特征。我们可以通过问题链，层层递进地引导学生做更深入、更细致的探索与思考。
问题1为什么11不是3的倍数，而12是？
回答这个问题要做除法，自然涉及前面的数位分解。11=10+1;10除以3商3余1，可以将10写成9+1，于是11=9+1+1=9+2;由于9是3的倍数，2不是3的倍数，所以11不是3的倍数。12=10+2=9+1+2=9+3，显然9与3都是3的倍数，所以12是3的倍数。
这个方法可以运用到一般的数上。教师可以列举若干个三位数甚至四位数、五位数，引导学生思考。
问题2111是不是3的倍数？112呢？
有了前面的分析，学生应该能自主写出下面的式子：111=1×100+1×10+1=1×（99+1）+1×（9+1）+1=1×99+1×9+1+1+1=1×99+1×9+3。由于1×99、1×9、3都是3的倍数，所以111是3的倍数。同理可得，112=1×99+1×9+4，由于1×99、1×9是3的倍数，而4不是3的倍数，所以112不是3的倍数。
问题3能不能列举几个四位数与五位数，说明什么样的数是3的倍数，什么样的数不是3的倍数？
学生能举出的最简单的数，当然是1110、11112之类的数。在处理方法上，与前面几个数没有任何不同：1110=1×1000+1×100+1×10=1×（999+1）+1×（99+1）+1×（9+1）=1×999+1×99+1×9+1+1+1=1×999+1×99+1×9+3;因为1×999、1×99、1×9、3都是3的倍数，所以1110是3的倍数。同理可得，11112也是3的倍数。
问题4上述分析方法能不能用来分析任意正整数何时是3的倍数？一个数是不是3的倍数与这个数的个位数是不是3的倍数有关吗？
学生对这个问题应该不会感到困难了，至少可以通过若干个两位数来检验。例如，13、16、19的个位数都是3的倍数，但这几个数都不是3的倍数;11、22、14、25、17、28等也不是3的倍数。这说明，无论个位数是多少，这个数都有可能不是3的倍数。
问题5为什么通过个位数不能判断一个数是不是3的倍数？能不能通过一两个具体的两位数来说明？能列举几个更复杂的三位数说明上面的结论吗？
学生可以任意举出之前的例子（如11、12），或其他更复杂的例子（如459=4×99+5×9+18、557=5×99+5×9+17）来说明。
小学生的认知水平和抽象思维毕竟有限，不可能通过几个例子便触类旁通地总结出规律。因此，让学生反复列举各种例子，正是为了让他们经过反复训练，慢慢地从中发现规律。接下来，就可以进入最本质的问题了。
问题6分析一下，上述459的分解式中的18与557的分解式中的17是怎么得到的？
由于经过了较多例子的重复检验，学生只要稍微仔细一点，便容易发现18与17分别是459与557的各位上数相加得到的，即18=4+5+9，17=5+5+7。
问题7上面的答案具有一般性吗？试着判断896532是不是3的倍数，能不能说清楚其中的道理？
有了前面的若干例子做基础，学生有理由猜测：由于8+9+6+5+3+2=33，33是3的倍数，所以这个数应该是3的倍数。当然，仅有这个猜测还不够，还要说清楚其中的道理。教师可以引导学生模仿前面的方法做详细的分析：
896532=8×100000+9×10000+6×1000+5×100+3×10+2
=8×（99999+1）+9×（9999+1）+6×（999+1）+5×（99+1）+3×（9+1）+2
=8×99999+9×9999+6×999+5×99+3×9+8+9+6+5+3+2
=8×99999+9×9999+6×999+5×99+3×9+33;
由于8×99999、9×9999、6×999、5×99、3×9都是3的倍数，33也是3的倍数，所以896532是3的倍数。33是896532各位上數的和。
问题8通过上面一系列分析，你如何判断任意正整数是不是3的倍数？
学生很容易得到结论：各位上数的和是3的倍数。
能完成上面一系列问题的分析，对一般学生来说，已经足够了。不过，对优秀学生来说，还可再往前走一步。课堂上，可以抛出更一般（用字母表达）的问题，让学生思考严格（形式化）的证明，但不宜做强制性要求。
思考题假设a1a2…an是一个n位数，其中a1是1到9之间的任意数，ai（i>1）为0到9之间的任意数，试说明：当a1+a2+…+an为3的倍数时，a1a2…an是3的倍数;反之亦然。
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