问题化教学促学生形成函数模型思想
刘莎
摘 要：函数概念是数学中的重要概念，相当抽象.而模型思想，可以描述和分析变量之间的对应关系，便于学生理解.以问题为导向的问题化教学设计，其目的就是从学生的学情出发，根据学生的“最近发展区”提出话题或问题，引导学生自主发现并提出问题，以激发学生主动学习的兴趣，进而帮助学生自主建立适当的函数模型來刻画和解决问题，提升数学核心素养.
关键词：问题化教学;函数模型
函数概念深刻地反映了客观世界的运动和实际量之间的依赖关系，是近代数学的主要基础.模型思想是针对要解决的实际问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法.函数模型思想，即在解决实际问题时，发现在变化过程中存在着变量之间的对应关系，通过构造相应的函数模型来描述、分析并解决实际问题的数学思想.问题化教学是指课堂教学中，教师以问题为载体，不断刺激学生思考问题、发现问题，再提出问题、分析并解决问题，获得数学活动的经验，形成数学思考的教学方法.这种课堂模式从学生的“最近发展区”中提出问题，渗透函数模型思想，能激发学生的探究热情，引导学生发现问题、分析问题并最终解决问题.
下面笔者以在宁波市海曙区第十五届初中数学教坛新秀评比中上的“注水问题中的函数模型——一次函数应用复习”一课为例，谈谈以问题化教学促使学生形成函数模型思想的策略.
一、学情分析及目标设定
（一）学情分析
本节课的教学对象是已快结束八年级下学期课程的学生，他们已经具备几何图形分析、数形结合思想，以及运用方程与不等式解决实际问题的能力.但是由于函数概念的抽象性，学生还是难以应用函数来描述实际问题，难以通过函数分析来解决实际问题.
（二）目标设定
1.借助函数的图象与性质，运用方程、不等式的相关知识来分析和解决问题，并渗透函数与方程、数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法.
2.经历数学函数建模解决实际问题的过程，能够运用数学语言来描述实际问题，提炼出相应的数学问题，再通过相关数学函数模型来解决此数学问题，从而达成解决实际问题的目标，提升学生的数学函数建模思想素养.
二、教学过程
（一）背景引入，激发兴趣
例1 甲杯中下圆柱的底面积为10cm2，高为20cm;上圆柱底面积为30cm2，高不限，上下连通.乙杯是底面积为20cm2且不限高的圆柱形（图略）.现向甲、乙两杯中分别注水，设水面高度为h（cm），杯中水的体积为V甲（mL），V乙（mL）.
问题1：分别写出V甲，V乙与h的关系式.
问题2：请将V甲和V乙画在同一个平面直角坐标系中.
教学活动1：（1）引导学生自主思考、交流，经历“从实际问题到数学问题的抽象”这一过程，体会如何从实际问题中变量之间的恒等关系出发，寻求函数解析式.（2）让学生动手画图，体会在分段函数的画图中自变量取值范围的重要性，培养学生的数学严谨性.
设计意图：杯中注水，水的体积与高度会发生动态变化.学生有相关经验，所以V乙与h的关系毫无挑战性，但是由于甲杯的组合性，需要分段求解，学生就要跳一跳才能够得着.这种基于“最近发展区”的提问，大大激发了学生的求知欲.
问题3：观察图形（图略），V甲关于h的图象与V乙关于h的图象是否会相交？若相交，请求出交点，并思考交点所代表的实际含义.若不相交，请说明理由.
教学活动2：（1）学生自主观察与小组讨论相结合，与同伴一起学习，找出差异.（2）通过图形观察以及对一次函数中K相等所对应的图形关系的理解，体会数形结合的思想在画图中的作用.（3）利用方程思想求交点，通过对交点所表达的实际含义的思考，进一步理解实际问题.
设计意图：应用函数模型解决实际问题，大多会用到函数图象来进行分析探究，所以画图是基本功，哪怕是草图，也不能忽略图形本身可能具备的位置关系.这可以培养学生画图的正确意识.
问题4：继续观察图形，你还能从图形中发现什么呢？试着跟同桌交流.
教学活动3：看图说话，培养学生观察分析与合作交流的能力.在小组交流中，可以越来越清晰地呈现出图形带来的解题思考.这可以培养学生数形结合的解题思想.
预设1：变化规律：V甲 随着h增大而增大，不过，一开始增大得比较缓慢，后来增大得很快;而V乙随着h增大而增大，保持速度不变.探究变化规律的原因.
预设2：当h为何值时，V甲=V乙？当h为何值时，V甲<V乙？当h为何值时，V甲>V乙？
设计意图：开放式话题，能刺激学生打开思维，培养学生发现问题、提出问题的能力.预设1和预设2是学生能想到的问题，让学生提出来，更能促使他们主动思考解题的方法.兴趣是最好的老师，要把学习的主动权还给学生.
（二）问题探究，步步深入
问题5：根据以上信息，如果你是老师，你还可以补充一个条件，再提出新的问题吗？小组合作讨论.
教学活动4：有了问题4的学习经验，面对问题5学生非常踊跃，所提问题如：
提问1：已知h=10，求V甲 ，V乙的体积差为多少？已知V甲 =100，求h，V乙.已知V甲 =300，求h，V乙.
提问2：甲、乙的体积差为400mL时，此时甲、乙水面高度h各是多少？甲、乙的体积差为200mL时，甲、乙水面高度h各是多少？甲、乙的体积差为100mL时，甲、乙水面高度h各是多少？
笔者适时追问：
追问1：在已知自变量求函数值，或已知函数值求自变量的问题中，你觉得需要注意什么？
追问2：从以上变量关系中，你觉得V乙是关于V甲 的函数吗？如果是，尝试写出它们的函数解析式.如果不是，请说明理由.
追问3：在提问2中，为什么给出了三个不同的体积差的值呢？是随意的吗？
追问4：高度h关于体积差V′是函数关系吗？如果是，请思考解析式如何写？如果不是，说明理由.
追问5：当高度h确定时，体积差V′唯一确定吗？V′关于h是函数关系吗？如果是，请思考写出解析式;如果不是，请说明理由.
设计意图：经过巩固练习，学生积累了很多问题，此时利用开放式的提問，让学生自行生成问题，有利于学生主动去思考如何解决问题.教师基于学生的提问，适时追问，可以促进学生对数学问题进行深度思考.其中追问4和5促使学生强化对函数关系的判断，使其对函数概念的理解更深刻.追问2和5引导学生进行变式思维，改变观察探究的角度，能促进新的函数模型的生成，让学生在新旧认知的碰撞中获得感悟，形成函数模型意识.
（三）问题应用，体现模型
例2 小明从网上买了两个玻璃水杯，甲杯是由上下两个圆柱拼接而成的（中间连通），乙杯是一个圆柱.小明分别往两个杯子内倒水，杯内水的高度相同时，水的体积记录如表1.
则甲杯底部圆柱的容积为 mL.当乙杯内水的体积为150mL时，要使两个杯子内水的高度相同，甲杯中水的体积为 mL.
从本题给出的数据，很难直接看出规律.解题时，应该从实际问题出发，探究变量之间的函数关系，再通过函数图象特征分析数据的关联性，从而解决问题.
1.探究V甲、V乙分别关于h的函数关系
虽然例题中没有给出底面积的具体大小，但根据学习经验可大致画出它们的函数图象.从表格中所列的数据看，从第四列开始，体积差都是50mL，可以大胆猜测，当h超过一定值后，对应图形没有交点，即它们互相平行，则说明甲杯上圆柱和乙杯圆柱的底面积相等.而第一次出现体积差为50mL处，即为甲杯中下圆柱充满水时，故此前水的高度相同时，甲、乙的体积比为4∶9，可求得甲杯下圆柱体积为40mL，此时乙杯中水的体积为90mL.又因为在两个杯子内水的高度相同的情况下，当乙杯中水的体积超过90mL后，甲、乙杯中水的体积差始终是50mL，从而，当乙杯内体积为150mL时，甲杯中水的体积必为100mL.
2.探究体积差V′关于h的函数关系
通过计算，随着高度h的增加，V′分别是20，40，45，50，50，50，再根据实际问题情境，不难画出体积差V′关于h的大致函数图象.当乙杯内体积为150mL时，要使两个杯子内水的高度相同，甲杯中水的体积应为100mL.剩下的问题的关键马上转化到折点处了，也即当甲杯下圆柱水满时，由于具体的水的高度h不清楚，所以不能直接求出V′关于h的函数解析式.可以同上考虑，得甲杯下圆柱体积为40mL，此时乙杯中水的体积为90mL.
3.探究V乙关于V甲的函数关系
分析表格中的数据不难发现，这是用列表法呈现的函数关系，不妨把V甲看作横坐标，V乙看作相应的纵坐标，直接在平面直角坐标系中描点、连线（图略），再结合V乙关于V甲的一次函数特征，发现图象为两条相交的直线，再利用待定系数法可得分段函数的交点坐标为（40，90），其中交点的横坐标40mL即为甲杯底部圆柱的容积;当乙杯内体积为150mL时，要使两个杯子内水的高度相同，甲杯中水的体积应为100mL.
设计意图：在实际问题中，学生观察数据，在寻求规律遇到障碍后，通过寻求函数模型，有利于对实际问题进行描述，进而解决实际问题.根据本节课所探究的数学思考的方向，通过正向迁移，学生也能从三个角度去建立函数模型.在这样的一题多解中，既能锻炼学生的发散性思维，也能培养学生形成数学函数模型的意识，最终实现从实际问题抽象到数学函数模型，再从数学函数模型进行实际问题求解的思维升华.
4.总结提炼，分享成果
笔者引导学生进行反思与总结.
（1）在本节课中，我们学到了什么？
（2）在解决实际问题的过程中，会用到哪些数学思想和方法？
（3）在学习过程中，我们得到哪些收获和体会？
设计意图：在课堂教学中，教师要留一定的时间和空间让学生进行反思和总结.在学生彼此交流成果的过程中，学生能不断地积累学习经验，优化知识结构;教师也可以在一定程度上了解学生知识学习的深度和广度，把握学生的数学思维水平，为教学的进一步优化提供材料支撑.
三、几点思考
（一）问题化教学设计应以学情为基础
学生是学习的主体，学生现有的数学知识结构、学习经验和思维方式应该成为数学教学的出发点和落脚点.以问题为载体的问题化教学设计，要求问题的设计必须符合学情，而从学生的“最近发展区”提出的问题才能真正激发学生的求知欲.考虑到八年级学生具有数学思考严谨性不足的特征，笔者在课堂上适时地进行反问、追问，及时补充相关数学信息，引导学生在有梯度的问题中思考解决问题的方法，以培养学生数学思维的严谨性.
教学中，教师要关注学生的差异，用不同思维层次的问题引导每一个学生积极参与教学活动，提高教学活动的针对性和有效性.教师还应针对学生个体差异进行课堂留白，并作策略和方法上的提示，为学有余力并对数学感兴趣的学生提供思考的空间.
（二）问题化教学过程应遵循数学内部逻辑
问题化教学过程，主要依靠问题促进学生的思维活动，达成认知的过程，除了要立足学情外，也要遵循数学内部逻辑.比如，对四边形→平行四边形→菱形（矩形）→正方形，要遵循的数学内部逻辑是特殊化，而从研究方法上看，四者均从定义、性质、判定、应用四个方面着手，后三者又从属于数学内部逻辑的并列关系.考虑到一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数等的并列关系，本文只探究了一次函数模型（其他特殊函数模型思想也一样），为将来深度探究函数模型提供学习的视角和方法.本节课的教学内容，如条件从明确到弱化、实际问题从浅到深等，也决定了教学过程遵从层层递进以及特殊化的数学内部逻辑关系.
（三）通过问题化教学，提升学生的核心素养
通过数学教学，不仅要让学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，更重要的是让学生体会不同数学知识之间的联系，构建良好的数学知识体系，培育学生的数学核心素养.《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，学生创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，要从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终.课堂是学生开展学习活动的主要场所，在课堂教学中，采用问题串式的教学设计，提出层层递进的数学问题让学生思考，有利于学生探究思维的生成.而开放式的问题设计，可以有效地让学生进行独立思考并主动地去发现问题、提出问题，然后在生生和师生的互动中碰撞出解决问题的思维火花，进而培养学生的创新意识.教师应根据学生已有的学习经验，设计问题情境，让他们有问题可提，再由浅入深地引导他们解决问题，以拓展学生思维的深度，比如换个变量来看函数，这样可以培养学生的发散性思维，使他们具备内化函数的意识.
综上所述，让学生主动动手、动脑、动口的课堂，才是以学生为主体实现深度学习的课堂.
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