浅析如何在数学应用中培养学生的分类讨论思想
林平
[摘 要] 分类讨论思想是贯穿于整个数学活动中的重要思想之一，其有利于培养学生严谨的学习态度，全面分析问题及合理解决问题的能力. 在解决数学问题时，应用分类讨论思想可以将复杂的数学问题简单化，将困难的问题容易化，运用分而治之的手段，逐个、逐层地解决，从而提高学生的学习能力和应用能力.
[关键词] 分类讨论;分析问题;解决问题
中考时，压轴题多为分类讨论的问题，因其综合性更强，更能考查学生的综合能力而被出题者所热爱. 然而因其综合性更强，难度更大，容易使学生产生畏难心理，那么要解决学生的畏难心理，就需要在日常教学中逐渐渗透分类讨论思想，采用由浅入深螺旋上升的方式，逐渐提升学生的逻辑分析能力. 笔者认为，要培养学生分类讨论思想需从以下几点出发：
首先，让学生理解“为何分类”. 在同一问题之下，由已知的不确定会产生多个结论，因此不能一次性地解决问题. 若想全面地解决问题就必须对其分类，将一个复杂的问题拆分成若干个简单明了的小问题，通过解决若干小问题达到解决问题的目的. 例如，题目给出了三角形的两条边的长度及未知边上的高，进行面积的求解. 题目中未指明三角形的形状，而高的位置受三角形形状的影响，那么要解决这一问题，就需要根据形状进行分类，分类后再进行逐一求解.
其次，让学生懂得“如何分类”. 分类应遵守“不重复、不遗漏”的原则，善于找到问题间的区别与联系，发现问题的实质，根据统一标准，逐层逐级地有序分类. 正确的分类是解决问题的前提，切勿多个标准分类，那样不仅不能简化问题，反而容易造成问题复杂化、混乱化，不利于解决问题.
最后，运用热点分类问题培养学生分类讨论思想. 例如，运用圆中点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系;运用三角形角、边、对应关系的不确定性等热点分类问题培养学生的分类能力. 在教学中要逐渐渗透分类思想，引导学生领悟“为何分”“何时分”“如何分”，从而有效提升学生的逻辑思维能力.
以下笔者列举几个应用分类讨论思想的实例，以期引起共鸣，让教师在教学中更加重视学生分类讨论思想的培养.
从“不确定”中领悟分类讨论
思想
在小学阶段，为了让学生深刻地认识“等腰三角形”及“三角形三边关系”，常设计给出等腰三角形的任意两条边，求解等腰三角形的周长，其目的是引导学生根据腰和底边进行分类，体会分类讨论的思想，打破数学思维的局限，从而培养学生数学实际应用能力. 那么，在初中阶段，就不再是体会分类讨论，而是让学生建立起分类讨论思想，体验数学在生活中的应用价值.
例1 已知Rt△ABC的两条边分别为6和8，则该三角形中较小角的正切值为______.
例1未明确给出特定的边，例2未明确给出对应关系，因“未明确”使题目结论有了更多的可能，有效培养了学生全面、严谨思考问题的能力. 同时例2引导学生体会对应的思想，在解题时要摒弃随意的想法，养成严谨的学习态度.
在“定理推理”中体验分类讨
论思想
分类讨论思想因其更加严谨和全面，所以在数学公式、法则、定理的论证中经常使用. 在教学中，让学生充分地体验定理的论证过程，有利于学生发现知识点的内在联系及规律，体验分类讨论思想的作用.
例3 探索“圆周角定理”.
师：通过前面的学习，已经理解了圆心角及圆周角的概念，现在请同学们画出一条弧BC，并画出其对应的圆心角及圆周角，大家可以尝试不同的画法. （教师留给学生足够的时间去绘制、观察、归纳）
师：现在请大家展示一下你们绘制的结果.
生1：老师，我画的图1. （教师将图1投影至大屏幕上）
师：很好，你们还有不同的画法吗？（在教师的引导下，学生找到了三种不同的画法）
师：我们找到了三种不同的画法. （教师利用PPT将三幅图对比展示）
师：根据这三幅图，观察一下圆心O与圆心角∠BAC有何位置关系.
生2：图1中，圆心O在圆心角∠BAC的边AB上.
生3：图2中，圆心O在圆心角∠BAC内.
生4：图3中，圆心O在圆心角∠BAC外.
师：圆心O与圆心角∠BAC是否还有其他位置关系呢？
在教学中，教师先是让学生动手画，并留给学生足够的时间进行自主探究，尽量画出不同的图形，接下来引导学生集思广益，找出了三种不同的画法，最后将图形对比展示，引导学生观察圆心O与圆周角∠BAC的位置关系，让学生归纳并总结出规律. 在整个过程中，教师以学生动手实践为主线，用分类讨论思想让学生体会可能性，从而引导学生从特殊中挖掘一般规律，培养学生严谨的分析问题的能力，以此为解决问题打下坚实的基础.
在“应用问题”中运用分类讨
论思想
在数学应用中，常常会出现“最优”“最省”“最快”等问题，求“最”的过程也就是从不同的方案中寻找最合适的解决方案，那么要求解此类问题，分类讨论思想是必不可少的.
例4 现有一新小区开盘，已知该楼房共23层，每层8套，每套面积均为120 m2. 第一层是门面房单独出售，现出售第二层至第二十三层. 商品房的定价以第八层为标准，第八层为每平方米3000元;从第八层开始，每上升一层，每平方米多加40元，即第九層为每平方米3040元，以此类推;反之，从第八层开始，若每降一层，则每平方米降20元. 现开发商为购房者提供了两种购买方案：
方案一：若贷款，则需要缴纳30%的首付.
方案二：若一次性付款，可享受8%的优惠，同时可免收5年的物业管理费. （假设物业费为a元/月）
（1）若设售价为y元，楼层为x（x为正整数），请写出y与x之间的函数表达式.
（2）已知小刘想贷款买房，已筹集了120000元现款，请问小刘可以购买哪些楼层的房屋？
（3）小张想买第十六层的房屋，但是他不喜欢减免物业费的方式，想直接在房屋总价上得到优惠，他提出的方案是直接享受9%的优惠，你是否也认同小张的想法呢？
分析：（1）因第八层以上与第八层以下售价方案不同，因此列函数表达式时需要根据楼层进行划分.
（2）要想知道小刘可购买的楼层，首先要以第八层作为标准，根据首付价格判断其可购买的楼层的房屋.
（3）因物业费为常数a，所以判断小张的想法是否正确与a的取值范围有关.
解：（1）若2≤x≤8，则有y=3000-20（8-x）=20x+2840;若9≤x≤23，则有y=3000+40（x-8）=40x+2680.
（2）①若小刘购买第八层的房屋，则需支付的首付为3000×120×30%=108000（元）;其小于小刘已筹备的现款，所以第八层及以下楼层的房屋都符合购买条件.
由①②可知，其可以购买第二层至第十六层中的任何一个楼层的房屋.
以上三个问题的解答都充分地利用了分类讨论思想，前面两问根据第八层进行分类、讨论，最后一问需要充分考虑a的取值. 在解决该应用问题时，分类讨论思想运用得淋漓尽致，充分地体现了分类讨论思想的应用价值.
总之，分类讨论思想在数学的学习及应用中发挥着举足轻重的作用，对学生的未来有着深远的影响，因此在教学中要细心地设计与引导，通过多探究、多发现，让学生逐渐领悟分类要领，从而培养学生分类讨论思想.
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