“创课导学”教学法在数学命题课中的应用
沈林霏 曾蓓莉
数学命题课的基本教学任务，是使学生认识形成命题的条件，掌握数学命题的表达形式、内容和含义，及其推理过程、证明方法，学会运用数学命题进行计算、推理和论证，弄清各个数学命题间的关系，并将学过的命题系统化处理，形成结构紧密的知识体系，熟悉基本的数学思想和数学方法，提高数学基本能力.
我们所研究的“创课导学”教学法，是一种以关键“问题”为导向，通过创设能够激发学生再创造活力的问题情境，借助信息技术、实物教具等，让学生在动手实验过程中观察、猜想、推理、验证，进行深度学习的教学方法.采用这种教学方法能有效达成数学命题课的教学目标.
本文以人教A版高中数学必修2“2.3.1 直线与平面垂直的判定”教学为例，阐述“创课导学”教学法在数学命题课中的应用.
一、教学内容分析及教学策略设计
“直线与平面垂直的判定”一课的主要教学内容，有直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用.直线与平面垂直是直线和平面相交的一种特殊情况，是直线与直线垂直位置关系在立体空间中的拓展，是学生进一步学习空间中垂直位置关系转化、平面与平面垂直等知识的基础，也是学习直线和平面所成的角、直线与平面和平面与平面间的距离等内容的前提.因而，直线与平面垂直是空间点、线、面之间位置关系中的核心概念之一.
仔细研读教材可以发现，课本对“直线与平面垂直”这一概念的表述比较抽象，适宜采用发现性学习法促进学生的认识和理解.也就是说，教师在教学中要有目的地提出一些能够促进学生探究的问题，让学生在有启发性的问题情境中独立思考，对学生进行必要的启示引导，使其经过运算、作图、观察、类比、分析、实践、归纳等步骤，能够提出猜想、探索规律、形成命题、实验证明，最终获得相关定理.于是，我们构建了本课“创课导学”的教学路径（如图1）.
二、“创课导学”教学法在数学命题课中的实践应用
沿着“创课导学”的基本路径，我们设计了“创设生活情境，实践问题导向→设计实验，验证猜想→迁移应用，拓展提升”3个教学环节，循序渐进地展开教学.
（一）创设生活情境，实践问题导向
师课件出示图片（如图2），并提问：①随着太阳高度角的变化，太阳光线与地面所成的角也在变，其中有没有比较特殊的位置关系？②观察图片，你发现旗杆与地面、高楼侧棱与地面的位置有什么关系？
生：会发现直线与平面垂直的特殊位置关系.
师：你可以画出旗杆与地面的垂直关系的几何图形吗？（生作图，如图3.）
师：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的其他直线有怎样的位置关系？
生：是垂直吗？
师：请把你的数学课本打开，让它直立在桌面上.现在你是否可以肯定自己的结论？
生：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的所有直线都垂直.
师：根据以上实例，你能不能给“直线与平面垂直”下一个定义？
生：当一条直线垂直于一个平面内的所有直线（有学生会说是“无数条直线”）时，这条直线与这个平面垂直.
师：“所有或任意”与“无数”有什么区别？为什么说是“所有或任意”，而不说“无数”？（生通过几何画板作图比较，如图4.）
在以上教学环节中，教师通过展示现实生活里线面垂直的例子创设情境，然后以一系列问题引导学生将这些实例串联起来，真实地探究直线与平面垂直的概念.学生对直线与平面垂直有了直观理解，自行总结出结论：如果直线[l]与平面[α]内的任意一条直线都垂直，我们就说直线[l]与平面[α]互相垂直，记作[l⊥α].在教师的进一步引导下，学生认识到了线线垂直与线面垂直可以相互转化，然后得出一个命题：[a⊥αb?α?a⊥b.]
（二）设计实验，验证猜想
师：如果用定义去判定直线与平面是否垂直，在实际操作中能否实现？
生：很难，无法说明直线l与平面[α]内的任意一条直线都垂直.
师：请大家回忆一下判定直线与平面平行的方法，然后想一想，一条直线最少要与平面内多少条直线垂直，才能判定这条直线与平面垂直？
生：一条不行，最少要两条，而且是两条相交的直线才可以.
师：请你们拿出事先准备好的三角形纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖立放置在桌面上，BD、DC与桌面接触（如图5）.观察并思考：①折痕AD与桌面垂直吗？②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
生：（动手实验后）当[AD⊥CD，][AD⊥BD，]并且CD、BD要相交，才能说AD垂直于桌面，如果CD、BD是平行的就不行.
師：那么，要判断一条直线与一个平面是否垂直需要什么条件？
生：（大胆猜想）判断这条直线是否与这个平面内两条相交的直线都垂直.
师：请用语言和图形表述你们的猜想.
生：（作图论证，如图6）从图中我们可以看出，一条直线与一个平面内两条相交的直线都垂直，则直线与平面垂直.
师：我们通过分析生活实例和动手实验得出的结论一定是正确的吗？我们是否可以用具体的数据来验证刚才折纸实验的猜想呢？
生1：我们可不可以借助电脑软件来模拟呢？现在的数学软件不是可以测量角度吗？
师：你们想如何进行操作？需要测量哪些数据？
生2：我们需要在空间中先确定一个平面，然后在平面外找到一条直线，再在平面内找到多条相交的直线.
生3：我们可以借助Hawgent软件测量出平面外这条直线与平面内相交直线所成的角（如图7），当它们所成的角的度数都为90°时，我们继续测量平面外这条直线与平面内其他直线所成的角，如果这些角的度数都是90°，就可以判定平面外这条直线与这个平面垂直，从而验证了之前的猜想.
生1：在图中，我们测量出平面外一条直线 l 与平面内两条相交直线 l1、l2 所成的角度.滑动操作杆，我们还能得到直线 l 与平面内另外任意一条直线 l3 所成的角的度数.
生2：因为直线 l3 是任意的，也就是说，当直线 l 与平面内两条相交直线 l1、l2 都垂直时，它就可以和这个平面内任何一条直线垂直了.
生3：按照线面垂直的定义，我们就可以说直线和平面互相垂直了.
数学实验的完成离不开电脑软件的支持，我们利用Hawgent数学动态软件完成了测量三维空间中的角度的度数，学生直观形象地认识了“直线与平面垂直”这一概念，并学会了如何判定.
（三）迁移应用，拓展提升
为了进一步加深学生对“直线与平面垂直”这一概念的理解，让学生学会更多判定直线与平面垂直的方法，我们设计了以下3道例题.
[例题1]求证：与三角形的两条边同时垂直的直线一定与第三条边垂直.
[例题2]如图，有一根旗杆AB高8m，在它的顶端A上挂有两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的下端固定在地面上的C、D两点（和旗杆脚B不在同一条直线上）.如果C、D两点和B的距离都是6m，那么旗杆就和地面垂直.为什么？
通过生活实例引入和问题串联，我们完成了“问题导向”;通过猜想和实验，借助Hawgent软件进行验证，我们完成了“实验导学”;通过设计练习，引导学生迁移、运用所学知识，我们完成了“目标解惑”.整个教学过程，较好地阐释了“创课导学”教学法在数学命题课中的应用，让学生理解了“直线与平面垂直”的概念，归纳出判定直线与平面垂直的一些方法（如图8）.
数学命题课具有较强的抽象性，需要教师采取发现性学习方法，加深学生对数学定理、概念、公式等的直观认识，激发学生的学习动力.“创课导学”教学法倡导利用有效的信息技术手段、实验工具，为学生创设生动活泼的实验情境，引导学生通过猜想、实验、论证、总结，最终获得知识并解决实际问题.在本课教学中，学生在教师的指引下，亲历了知识学习的全过程，构建了较为完整的知识体系，充分体现了“创课导学”教学法在数学命题课教学中的优势.（题图左为作者沈林霏，右为作者曾蓓莉）
（责编 蒙秀溪）
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