圆的常见考点展示
薛金钰
圆是初中数学中最重要的内容之一，该部分知识大致可分为与圆有关的性质、直线与圆的位置关系及与圆有关的计算三部分，中考中一般以填空、选择、计算和证明的形式出现，难度中等.现举例介绍其常见考点，希望能对同学们有所帮助.
考点1：垂径定理
例1（2021·四川·自贡）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE = 3，OB = 5，则CD的长度为（ ）.
A. 9.6 B. 4[5] C. 5[3] D. 10
分析：由垂径定理可知AE = CE，由AO = BO，OE = 3，可求出BC和AC，再运用面积法求出CF，即可由垂径定理得到CD的长度.
解：如图1，连接BC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB = 90°. ∵OE⊥AC，∴AE = EC.∵AO = BO，∴BC = 2OE = 6.∵AB = 2OB = 10，∴AC = 8. ∵CD⊥AB，∴CD = 2CF. ∵S△ABC = [12]AC × BC = [12]AB × CF，即6 × 8 = 10CF，∴CF = 4.8，∴CD = 9.6，故选A.
点评：这里两次运用了垂径定理，给解题带来了便利.面积法是解题的有力武器，利用两次算同一個图形的面积得到等量关系，更是一个很有用的解题策略，同学们要学会灵活应用.
考点2：弧、弦、圆心角的关系以及圆周角定理
例2（2021·江苏·连云港）如图2，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，∠AOB = 30°，∠OBC = 40°，则∠OAC = .
分析：如图2，延长AO，BO交⊙O于点D，E，连接OC，CD. 从弧、弦、圆心角的关系来考虑：由∠AOB = 30°可得弧DE的度数为30°.由∠OBC = 40°，可得弧CE的度数为80°，进而得到弧CD的度数为50°， 即可得到∠OAC的度数.从圆周角定理来考虑：由∠AOB = 30°，∠OBC = 40°，可得∠BOC = 100°，∠COD = 50°，进而得到∠OAC的度数. 从圆内接四边形的性质来考虑：连接AB，由∠AOB = 30°，∠OBC = 40°，可得到∠ABC = 115°，∠CDA = 75°，进而得到∠OAC的度数.
解：如图2，延长AO，BO交⊙O于点D，E，连接OC，CD，可得∠OAC = 25°.
点评：本题的解法还有很多，通过不同的解法可以系统复习圆的概念及其基本性质，同学们不妨试一试，并从中选择出最简便的方法，与同伴交流.
考点3：直线与圆的位置关系
例3（2021·浙江·嘉兴）平面内有⊙O和点A，B，若⊙O的半径为2 cm，线段OA = 3 cm，OB = 2 cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）.
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切
分析：由⊙O的半径为2 cm和OB = 2 cm，可知直线AB与⊙O至少有一个公共点，因此它们之间的位置关系为相交或相切.
解：选D.
点评：本题虽然是直线与圆的位置关系（形）的判定，却是通过比较点A，B与圆心O的距离（数）的大小来做出判定的. 注意不要忽视相交的情况.
考点4：圆的切线的判定
例4（2021·四川·遂宁）如图3，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD = CD，∠A = 30°.
求证：直线AC是⊙O的切线.
分析：因点C在⊙O上，连接CO，只要证明∠ACO = 90°即可.
证明：连接OC. ∵AD = CD ，∠A = 30°，∴∠ACD = 30°，∴∠CDB = 60°. ∵OD = OC，∴∠OCD = ∠ODC = 60°，∴∠ACO = ∠ACD + ∠OCD = 90°. ∵OC是半径，∴直线AC是⊙O的切线.
点评：证明直线是圆的切线时，若已知直线与圆有公共点，通常连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，简述为：连半径，证垂直;若未知直线与圆的交点，通常过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段的长等于圆的半径，简述为：作垂线，证相等.
考点5：切线的性质与弧长的计算
例5（2021·浙江·丽水）如图4，在△ABC中，AC = BC，以BC为直径的半圆O交AB于点D，过点D作半圆的切线，交AC于点E.
（1）求证：∠ACB = 2∠ADE;
（2）若DE = 3，AE = [3]，求[CD]的长.
分析：（1）由BC为直径，AC = BC，可知∠ACB = 2∠OCD，因此只要证明∠ADE = ∠OCD即可;（2）由已知条件证明△ABC是等边三角形，求出圆的半径和∠COD的度数即可.
解：（1）连接OD，CD.∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE = 90°，∴∠ODC + ∠CDE = 90°.
∵BC是直径，∴∠BDC = 90°，∴∠ADC = 90°，∴∠ADE + ∠CDE = 90°，∴∠ADE = ∠ODC.
∵OD = OC，∴∠ODC = ∠OCD，∵AC = BC，∴∠ACB = 2∠OCD，∴∠ACB = 2∠ADE.
（2）由（1）可知，∠AED = 90°.∵DE = 3，AE = [3]，∴AD = 2[3]，∴∠A = 60°，∴△ABC是等边三角形，∠B = 60°，∴∠COD = 120°，OC = 2[3]，∴[CD] = [120π×23180] = [43π3].
点评：已知切线，过切点连半径得垂直是常用的辅助线.利用弧长公式求弧长，关键是求出弧所在圆的半径和弧所对的圆心角.
（作者单位：江苏省兴化市戴南镇顾庄学校）
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