数学思想助力求解三角函数
宋建林
在解决锐角三角函数的有关问题时，常常需要用到数学思想方法，下面举例说明如何运用数学思想方法解决三角函数中的问题.
一、模型思想
例1（2021·四川·南充）如图1，点E在正方形ABCD邊AD上，点F是线段AB上的动点（不与点A重合），DF交AC于点G，GH⊥AD于点H，AB=1，DE=[13]. 求tan ∠ACE.
分析：要求tan ∠ACE，而∠ACE又非特殊角，因此只能根据三角函数的定义来求解，为此必须要建立直角三角形模型：过点E作EM⊥AC于点M，求出EM和CM即可.
解：如图1，过点E作EM⊥AC于点M，则∠AME=∠EMC=90°.∵四边形ABCD是边长为1的正方形，DE=[13]，∴∠CAD=45°，AE=AD - DE=[23]，∴EM=AM=AE·sin 45°=[23×22=23]，∵AC=[2]AB = [2]，∴CM=AC - AM=[2-23=223]，∴tan ∠ACE=[EMCM=12].
点评：求一个锐角的三角函数值，有两种情况：（1）当这个角是特殊角时，可直接根据特殊角的三角函数值得到答案;（2）当这个角是非特殊角时，一般要构造以这个角为内角的直角三角形模型，然后运用三角函数的定义来求解.
二、转化思想
例2（2021·浙江·绍兴）如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，cos B = [14]，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE = ∠B，连接CE，则[ECAD]的值为（ ）.
A. [32] B. [3] C. [152] D. 2
分析：如图2，设DE交AC于T，过点E作EH⊥CD于H. 先证明EA=ED=EC，再证明∠B=∠ECD，利用等角的三角函数值进行转化即可得结论.
解：如图2，设DE交AC于T，过点E作EH⊥CD于H.
∵∠BAC=90°，BD=DC，∴AD=DB=DC，∴∠B=∠DAB.
∵∠B=∠ADE，∴∠DAB=∠ADE，∴AB[⫽]DE，∴∠DTC=∠BAC=90°.
∵DT[⫽]AB，BD=DC，∴AT=TC，∴EA=EC=ED，∴∠EDC=∠ECD.
∵EH⊥CD，∴CH=DH.∵DE[⫽]AB，∴∠EDC=∠B，∴∠ECD=∠B，∴cos ∠ECH=cos B=[14]，
∴[CHEC]=[14]，∴[ECAD=ECCD]=[EC2CH] = 2，故选D.
点评：这里要求的是[ECAD]，即[ECCD]，其夹角是∠ECD，而已知的是cos B = [14]，为此设法证明∠ECD = ∠B，进行等角转化，从而达到解决问题的目的.
三、方程思想
例3（2021·四川·凉山）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度.他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2[10]米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，已知斜坡CF的坡比为i = 1∶3. （点E，C，H在同一水平线上）
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度;
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）.
分析：（1）作DH⊥CE于H，在Rt△CDH中利用坡比找出DH与CH的关系，再利用勾股定理得到关于DH的方程，即可求出DH;（2）延长AD交CE于点G，解Rt△GDH，Rt△CDH，求出GH，CH，得到GC，再说明AB = BC，在△ABG中，利用正切函数的定义得到关于AB的方程，解方程求出AB即可.
解：（1）如图3，过D作DH⊥CE于H，在Rt△CDH中，∵i = [DHCH=]1∶3，∴CH = 3DH.
∵CH2 + DH2 = CD2，∴（3DH）2 + DH2 = （[210]）2，解得DH = 2或-2（舍）.
即王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米.
（2）如图3，延长AD交CE于点G，由题意得∠AGC = 30°，∴GH = [3]DH =[ 23].
∵CH = 3DH = 6，∴GC = GH + CH = [23] + 6.
在Rt△BAC中，∠ACB = 45°，∴AB = BC，
∴tan∠AGB = [ABBG=ABBC+CG=ABAB+23+6=33]，
解得AB = [6+43].
即大树AB的高度为（[6+43]）米.
点评：掌握锐角三角函数的定义，仰角、俯角与坡度、坡角的概念，灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义构造出方程是解题的关键.
（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）
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