以建模思想改进分数和百分数应用题教学
虞敏
[摘 要]分数和百分数应用题在小学六年级解决问题教学乃至整个小学数学解决问题教学中都是重点和难点。分数和百分数应用题因其数量关系抽象，致使学生不易掌握，甚至无从下手。教师要抓住分数和百分数应用题的起点，也就是意义教学，明确知识点之间的联系，引导学生用建模的思想去解分数和百分数应用题，使得课堂教学更高效。
[关键词]建模思想;分数和百分数应用题;教学现状;教学建议
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）35-0023-03
分数和百分数应用题的教学是小学解决问题教学的难点，对此不少教师给出了解分数和百分数应用题的简单方法：如果单位“1”已知，用乘法计算;如果單位“1”未知，则用除法计算。刚接触时，因为有了明确的指向，学生做题时不假思索，正确率也比较高。但教学完分数和百分数应用题，进行分数和百分数应用题综合训练时，学生做题的正确率欠佳。基于这些教学现状，笔者运用建模思想改进分数和百分数应用题的教学，首先选择了两个班进行教学实验，一个班是传统的分数和百分数教学（普通班），另一个班是用建模思想进行分数和百分数教学（实验班）。现根据两个班分数和百分数应用题的一些教学实例和抽测数据对比情况，谈谈笔者对用建模思想进行分数和百分数应用题教学的一些认识和体会。
一、 分数和百分数应用题教学的教学现状
（一）分数和百分数应用题的知识来源
分数和百分数解决问题是由倍数问题发展过来的，两数a与b，当a与b的比值大于1的时候，我们就说a是b的几倍;当a与b的比值大于0而小于1的时候，就说成a是b的几分之几。可见，分数和百分数应用题是由整数倍数关系解决问题扩展而来的，它们的关系可以串成一条线：
用整数倍数关系解决问题 →用分数解决问题 → 用百分数解决问题。整数倍关系解决问题的教学目标落实到位与否，将直接影响学生分数和百分数应用题的学习。
（二）分数和百分数应用题教学的现状分析
在旧教材中，分数和百分数应用题教学为33课时，均独立设置一个单元去学习，安排了11道例题，并且每个例题后面安排了专门对应的练习课。而新教材仅安排了17课时，而且在分数和百分数计算教学后面只安排7道例题，并且没有对应的练习，其练习穿插在后面的复习中，因此分数和百分数教学任务就更难、更重。伴随着这些变化，教师在教分数和百分数应用题的过程中出现了两个不可小觑的问题。
1.注重结果，轻视理解
对于分数和百分数应用题的教学，教师往往会给学生归纳“如果单位‘1’已知，用乘法计算;如果单位‘1’未知，则用除法计算”，疏于学生理解意义的过程。
在教学“用分数乘法解决问题”这一课时，传统的教学方法就是简单地围绕“单位‘1’已知，用乘法去计算”来展开教学，效果似乎很好。但在教学了用分数乘法解决问题第二课时后，笔者对两个班的学生进行了测试，普通班的正确率是85.1%，实验班的正确率是88.3%。笔者询问普通班的学生为什么这样列式，很多学生都尴尬一笑，看来是遗忘了分数乘法是从整数乘法而来：“已知一个数，求一个数的几分之几是多少？”就是“求一个数的几倍是多少”。例如，题目“一杯约250毫升的鲜牛奶大约含有3/10克钙，喝了1/2杯牛奶，摄入多少克钙？”中有一个量是多余的，学生由于对数量之间的关系没有理解到位，也没能形成解决问题的有效策略，很多学生解答为“250×3/10=75（克），75×1/2=37.5（克）”，导致错误。这个时候两个班的正确率就出现了差距，普通班的正确率是42.1%，实验班的正确率是75.3%。面对新的问题，传统教学所教出来的学生往往是茫然而束手无策。
2.注重类型，轻视体系
在解决问题的教学中，许多教师由于对整体目标的不明确，在某些课时中过于注重专题类的教学，陷入“教师教应用题，学生练应用题”的模式，而忽视了每一节课在整个教学体系中的作用：教分数乘法解决问题时没有联系整数乘法应用题的含义，教分数除法解决问题时就让学生用算术解，百分数解决问题教学没有与分数联系……学生感觉到解决问题的类型让人眼花缭乱。
对于这些有前后联系的内容，教师教学前一定要好好钻研教材，清楚该课在整册教材，乃至小学六年的教材中所处的位置，了解新知的来龙去脉，明确其中包含的数学思想方法。例如 “用分数除法解决问题”这节课是学生在知道了用分数乘法解决问题和分数除法的计算的基础上学习的，能为后面用百分数解决问题打下重要的基础，但有些教师教学时只关注了用分数除法算术解，没有关注分数乘除法的联系。对此，在学生学习结束后，笔者给出了一道检测题“六年级男生有80人，男生人数比女生的4/5多4人，请问六年级女生有几人？”。这道题如果用分数除法去解决，学生要进行两次逆向思考，难度可想而知，而两个班的数据正好能说明一切，普通班的正确率是32.6%，实验班的正确率是75.8%。其实用分数除法解决问题可以归纳到用分数乘法解决问题，当单位“1”未知时，设其为未知数，顺着数量关系就可以解决了，让学生用同一个数学模型去解决不同的问题，能达到事半功倍的效果，何乐而不为呢？
二、分数和百分数应用题教学改进的建议
抓意义教学，建立分数模型，以建模思想统一分数和百分数问题的解题思路，提高解决分数和百分数应用题的教学质量。对于分数和百分数应用题，教师可以紧紧围绕“单位‘1’的量×分率=分率所对应的量”这个数量关系去教学：如果单位“1”已知，可以根据这个数量关系解题;如果单位“1”未知，可以把单位“1”设为未知数，再根据这个数量关系解题。学生在学习过程中就能逐步形成自己的解题思路，构建数学模型思想，提高解题能力。例如，对于“用分数除法解决问题”，可利用知识的迁移，将用分数乘法解决问题的数学模型迁移到用分数除法解决问题，这样不但能对前一段的知识进行有效的延伸，还能在学生的心中建立一个清晰的脉络，同时为以后用百分数解决问题打下基础，效果显著。
（一）紧抓意义教学，建立分数模型
分数和百分数解决问题教学的基础是用分数乘法解决问题，如果在教学中没有突破这个点，就会导致分数解决问题教学越来越难。抓意义教学，就是为后面的建立分数模型做准备，让学生在学习后续有关内容时有所依靠，使学生更加明白分数解决问题的数量关系。
【意义教学片段1】
出示题目：根据线段图说出分数关系句。
[女生人数：
男生人数：][ ][ ]
师：在这幅图中，能看出男生和女生之间有怎样的关系吗？把关系句写下来。
生1：男生人数是女生的4/5。
师：把谁当标准量也就是单位“1”？谁跟谁比？
生2：女生人数是标准量，是男生人数与女生人数比。
师：数量关系式怎么列？
生3：女生人数×4/5=男生人数。
师：还可以怎么表述这幅线段图？
生4：女生人数是男生的5/4。
生5：女生人数比男生多1/4。
生6：男生人數比女生少1/5。
师：这几句话区别是什么？
……
【思考】
读懂题目的意思是解题的第一步，也是比较关键的一步。教师要引导学生读懂题目，审清题意，领会题目所给的信息，使学生初步从整体上把握数量关系。为了帮助学生深刻理解信息中的数量关系，教师引导学生对题目中的信息进行延伸，即使有不同的表达方式，但都表示同一个意思。
【意义教学片段2】
出示题目：根据关系句画线段图。
（1）仓库里梨的质量是苹果的4/5;
（2）修一条路，已经完成了全长的1/3;
（3）货车的速度比客车慢1/4;
（4）苹果的价格比西瓜贵1/2。
师：说说第（3）题是怎么画的？
生1：关系句是说货车的速度和客车的速度比，那就以客车的速度为单位“1”，先画一条线段来表示，把客车的速度平均分成四份;也画一条线段表示货车的速度，因为货车的速度比客车的慢1/4，也就是说少一份，货车只有这样的三份。
师：生1的这幅线段图还可以怎么表述？
生2：货车的速度是客车的3/4。
生3：客车的速度比货车快1/3。
生4：客车的速度是货车的4/3。
生5：货车与客车的速度比是3∶4。
……
【思考】
教师让学生用线段图清楚表示分数关系句中数量之间的关系，如果出现错误，再让学生根据关系句之间的关系进行调整。借助线段图分析分数关系句，这是解答分数和百分数应用题的解题策略，特别在复杂的分数和百分数应用题中，数量关系比较多，用线段图能使分数关系句中的数量关系清晰可见，有了形的支撑，数就变得不抽象了。
（二）利用数学模型，突破分数难点
数学建模思想的重点是教学生用数学的语言和符号来表达实际问题，用数学的思想和方法解决实际问题。数学建模教学使学生将数学知识、思想和方法与周围的现实世界联系起来，针对一个个陌生的实际问题所建立起的数学模型，能让学生在学习中经历认识和总结的过程。分数和百分数应用题都是同一个数量关系，教师可以紧紧围绕“单位‘1’的量×分率=分率所对应的量”这个数学模型去教学，让学生的学习有所依靠。
【建模教学片段1】
出示题组练习：（连线）
A.20÷4/5
（1）六（1）班男生有20人，女生人数是男生的5/4，女生有几人？ B.20÷（1-1/5）
（2）六（1）班男生有20人，男生人数是女生的4/5，女生有几人？ C.20×5/4
（3）六（1）班男生有20人，女生人数比男生多1/4，女生有几人？ D.（1+1/4）×20
（4）六（1）班男生有20人，男生人数比女生少1/5，女生有几人？ E.（1-1/5）x=20
F.4/5 x=20
师：第（2）题对应哪个答案？
生1：根据“男生人数是女生的4/5”这个信息，我将女生人数设为单位“1”，而女生人数不知道，可以设女生人数为未知数，根据数量关系式“女生人数×4/5=男生人数”列出方程，所以对应的是“F.4/5 x=20”。
生2：据“男生人数是女生的4/5“这个信息，以女生人数为单位“1”，而女生人数不知道，也可以用算式20÷4/5来解答。
师：其实用除法算术解就是解方程的逆运算。
……
师：请把这几道题分分类。
生3：按单位“1”已知和未知进行分类，第（1）题和第（3）题是已知的，而第（2）题和第（4）题是未知的。
生4：根据它们的算法进行分类，第（1）题和第（3）题是用乘法解题，而第（2）题和第（4）题是用除法解题。
生5：其实这四道题是一类，都可以用乘法解决，即用“单位‘1’的量×分率=分率所对应的量”这个数量关系，如果单位“1”已知，就可以根据这个数量关系直接解题;如果单位“1”未知，可以把单位“1”设为未知数，再根据这个数量关系解题。
师：对啊，它们都可以用“单位‘1’的量×分率=分率所对应的量”这个数量关系来解。
（板书：“单位‘1’的量×分率=分率所对应的量”）
【思考】
在教学分数乘除法解决问题后，可以安排这样一组练习，让学生通过比较和分类，厘清解分数应用题的脉络。其实分数乘法解决问题和分数除法解决问题是一脉相通的。在关于分数除法解决问题中，教材只呈现了用方程解题的思路，很好地演绎了分数乘除法解决问题。如果教师在教学中说“如果单位‘1’未知，则用除法计算”，这是没有深刻体会教材编排意图，只会增加学生的学习难度。因此，教师要根据知识点之间的联系，给学生搭建新旧知识联系的平台，使学生所学的知识形成一条线，加深学生对分数乘法解决问题意义的理解，同时降低分数除法解决问题的难度，而让学生经历数学模型的建立并进行解释和应用的过程，还能增强学生学习数学的兴趣。
（三）通过变式练习，巩固数学模型
在一个问题情景中，虽然有多种形式，但是解决问题的模型只有一个，数量关系之间结构关系是不变的。在学生解决这类问题时，要引导学生进行知识之间的联系、对比、分析，使学生的思维不断内化。
【建模教学片段2】
出示题目：根据算式补充条件。
果园里有桃树120棵， ，梨树有多少棵？
（1）1/4 x=120或120÷1/4
条件：
（2）120×（1+1/4）
条件：
（3）（1-1/4）x=120或120÷（1-1/4）
条件：
师：第（1）题补充什么？
生：对于1/4 x=120这个算式，因为未知数是单位“1”的量，就是表示梨树的棵数，120是比较量，表示桃树的棵数，所以我写的是“桃树的棵数是梨树的1/4”。“120÷1/4”除法算式解释了方程解法。
……
【思考】
在分数解决问题的模型建立以后，教师设计了根据算式补充条件的练习，同时还有辨析练习，目的是加深学生对数学模型本质的理解。利用模型解题，不仅能让学生理解算式的意思，还能通过对算式的解释补充模型所需的信息。有些题目还有两种解题思路，能促进学生通过比较分析了解用方程解和用除法算术解的区别和联系，巩固了数学模型的意义。
对于分数和百分数应用题这样的经典课，仁者见仁，智者见智。笔者从数学建模思想入手改进教学，整体把握教材的知识点之间的联系，使学生的解题思路清晰可见，从而达到预期的教学效果。
（责编 金 铃）
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