“线上+线下”模式下线性代数教学设计探究
刘海玉 魏晓奇
摘 要：在“线上+线下”混合式教学模式下，根据线上与线下两种教学模式的特点，本文探讨了线性代数教学过程的课前、课中与课后三个阶段的教学方式与教学内容的设计安排。
关键词：混合式教学;教学设计;线性代数
中图分类号：G642.0 文献标识码：A
Exploration of Teaching Design of Linear Algebra in
Online and Offline Mixed Teaching Mode
Liu Haiyu Wei Xiaoqi
School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Technology JiangsuChangzhou 213001
Abstract：Based on the characteristics of online teaching mode and offline teaching mode，designs and arrangements of teaching method and teaching contents of the three stages，Preclass stage，Whileclass stage，and Postclass stage，of teaching process design of linear algebra are explored.
Keywords：mixed teaching mode;teaching design;linear algebra
“线上+线下”混合式教学是网络教学与课堂教学两种教学模式的结合。其目的是以学生为中心，以教师为主导，充分调动学生在学习过程中的积极性、主动性和创造性。传统的线下教学模式，也就是线下课堂教学，具有学习氛围浓厚、师生互动方便直接、情感交流丰富等优势。但也有其明显的短板，比如严重受到时间和空间的限制、学习进度完全取决于教师等。线上教学，也就是利用网络在线教学，虽然突破了时间、地域的限制，但因为师生之间的互动与情感交流相对比较困难、对学生学习的自觉性与主动性要求高等原因，导致线上教学的效果并不理想。线上教学与线下教学两种教学模式各有优势与短板，如何将这两种教学模式有机融合起来，实现优势互补，需要不断地进行探索。
一、线性代数课程特点和教学设计中存在的问题
线性代数是一门重要的大学数学基础课程。其理论和方法不仅已经渗透到数学的许多分支，也是物理、化学等很多学科不可缺少的代数基础知识。线性代数内容抽象，概念与理论繁多，逻辑性强，前后知识联系非常紧密。同时，线性代数课程普遍存在课时较少、教学模式单一、关于拓展应用方面的教学内容缺乏等特点。因此，为保证教学效果，提高教学质量，近年，高校的一线教师通过优化教学内容、改变教学模式、丰富教学资源等多方位联合的方式对线性代数这门课程进行改革。教学内容与教学资源的优化改革包括补充一些概念的知识文化背景、引入相关的计算软件、增加具体的应用案例、增强拓展实践环节等。新的教学模式主要包括翻转课堂模式、线上教学模式，比如慕课、微课、私播课（Small Private Online Courses，简称SPOC）等，以及线上与线下相结合的混合式教学模式这三种模式。实践表明，“线上+线下”混合式教学模式对于线性代数这门课程来说是教学效果比较好的一种模式。该教学模式既能发挥教师教学过程中的引导、启发与监督等主导作用，又能充分调动学生学习过程中的积极性、主动性和创造性。
在“线上+线下”混合式教学模式下，教学设计起到至关重要的作用。为了将线上与线下两种教学模式紧密融合，使教学内容有效填充，教师需要根据课程的特点、线上与线下两种教学模式的特点以及学生的特点等，对教学过程中線上与线下的教学时间、教学内容、教学资源等各个部分进行合理的安排与准备。线性代数这门课程，因其概念与理论过于抽象，所以学生学习起来会有畏难情绪。因此大部分教学内容需要在教师的带领和督促下，学生才能有效地完成学习。为了取得更好的教学效果，同时为了减轻线下课堂教学学时少的压力，线性代数这门课程应该遵循“线上为辅、线下为主”的教学原则。教学过程可以分为课前预习、课中教学、课后拓展三个阶段，其中课前预习和课后拓展两个阶段可以通过线上教学的方式进行，而课中教学阶段则宜采用传统的线下教学模式。
二、“线上+线下”混合式教学模式下教学设计的改革
（一）课前线上预习阶段
一方面因为线上学习对学生的学习自觉性要求很高，另一方面为了不给学生课外的学习增加过多的负担，所以课前的线上教学又可以分成必修和选修两个部分。在时间安排上，课前线上教学的总时长最好控制在30分钟以内，其中必修部分最好控制在15分钟以内。教学资料主要有教学计划、教学大纲、思维导图和微课视频等。其中教学计划、教学大纲和思维导图可以帮助学生对学习任务和所要学习的内容有一个总体的认识，了解所要学习的内容以及其中的重点、难点。微课视频的内容，可以是所要学习知识点的背景、相关的数学史、科学家传记等能够反映线性代数文化性的素材。因为线性代数中的一些概念非常抽象，如果学生在学习这些概念之前能够了解相应的背景，那么就比较容易接受和理解这些概念。而微课视频的来源，可以是网上共享的精品课程、MOOC课程或自制微课视频课程。如果为了更符合不同学校、不同专业或者不同基础学生的需求，那么自制微课视频是首选。
比如在为方阵的特征值与特征向量这一教学内容准备的课前预习视频中，既可以介绍特征值与特征向量的知识背景，也可以介绍与特征值与特征向量这一概念相关的数学史或数学家励志故事。比如可以介绍被称为“数学世界的亚历山大”的德国的伟大数学家大卫·希尔伯特，因为是他首次使用特征值与特征向量这一称呼。视频内容还可以介绍特征值与特征向量的相关应用，特征值与特征向量的应用非常广泛，比如特征值与特征向量在Google搜索引擎中的应用、在大数据分析中的应用、在人脸识别中的应用等。通过这些相关的知识背景、数学家或应用案例的介绍，可以帮助学生了解特征值与特征向量的实际意义和应用前景。让学生看到的特征值与特征向量这些概念是立体而丰满的，而不仅仅是一个个抽象的数学定义。通过这些应用背景和应用案例的介绍，还能够帮助学生了解这些概念联系着哪些实际问题。这不仅可以为后续其他课程的学习做好准备，而且能够让学生体会到特征值与特征向量的重要作用，从而激发学生的学习兴趣，让学生带着强烈的好奇心和求知欲去完成接下来的学习任务。课前线上教学内容还可以对学习特征值与特征向量需要用到的知识基础适当做一些补充。比如，因为求方阵的特征值需要用到关于一元高次方程在复数域内根的存在性与个数这一知识点，所以教师可以推送一些介绍这一知识点的视频，让学生在课前完成学习。因为线下学时的限制，这么做可以有效地缓解线下课堂教学的压力。
（二）课中线下教学阶段
线性代数这门课程具有理论抽象、知识点零碎等特点，很多定义、定理或命题因为过于抽象而不易于被学生理解。如果没有老师面对面的启发、引导与鼓励，学生很容易因此而产生畏难情绪，从而导致学习环节难以推进。所以对于教学内容中的重点和难点采用教师线下面授、着重讲解和针对训练的方式更有助于学生的学习。同时因为线下课堂学习氛围浓厚，且教师能够及时地发现学生在学习中存在的困难，所以线下课堂教学应该是教学过程中的核心部分。
线下课堂的授课方式可以是教师讲授和学生主讲两种。教学内容中的重点和难点由教师主讲并带领学生进行针对性的训练。而相对比较易于理解的教学内容，可以采用翻转课堂的方式，由学生主讲。教师可以首先将学生分成若干小组，然后将教学任务分派到每个小组。各小组的组员合作准备分配到的教学任务，然后由每个小组派出学生代表讲授相应的内容。利用这种翻转课堂的教学方式，可以充分调动学生的学习能动性，而且学生通过备课、授课这种输出的方式进行学习，对知识点的理解会更加深刻全面。采用翻转课堂教学方式时，教师在此过程中需要对各小组准备的情况、小组成员的参与度进行把关。
仍以特征值与特征向量这一教学内容为例。因为有了课前线上的预习，线下课堂上，教师便可以直接给出特征值与特征向量的概念。随后带领学生一起探讨如何求解特征值和特征向量。接下来引导学生去探索特征值和特征向量的性质与应用。因为这部分教学内容的重点与难点是特征值与特征向量的求法，所以教师要慢慢地对其进行分析讲解。尤其是特征向量的求法。因为要利用齐次线性方程组的基础解系表示出方阵的所有特征向量，所以对于这一知识点的讲解，要发挥教师的主导作用，引导学生逐步分析为什么要这么求以及怎么求。为了更好地理解这些知识、方法，教师可以根据常用的解题方法和解题技巧等，精心设计典型例题，帮助学生通过训练提高逻辑分析能力与解题能力。而对于特征值与特征向量的性质等相对比较容易理解的知识点，可以采用翻转课堂的方式，由学生讲解。
（三）课后拓展评价阶段
课后线上教学的内容是课中课堂教学内容的适当补充和重要延展，便于学生在课后对所学知识进行巩固、自测与提升。课后线上学习的时长安排弹性较大，教师可根据教学内容与学生的情况酌情安排。课后线上资源在包括作业、自测、答疑等内容的同时，还可以含有对教学内容中的重点和难点的总结回顾，另外对课堂所学知识点的拓展和补充也是重要的一部分内容。对于教学内容中的重点和难点，教师可以将知识点碎片化，并将这些小知识点录制成一些简短的微课视频，便于学生根据自身的情况，选取相应的视频重新观看学习。学生在观看视频时，不仅可以根据自身对视频内容的理解程度自由设置播放速度，对于难以理解的部分还可以反复回看学习。实践证明，利用课后线上这些教学辅导视频，大部分学生可以解决在课堂中留下的问题。
线性代数这门课程由于普遍存在课时紧张的情况，所以教师往往为了完成教学任务，只能“重理论知识，轻实践拓展”，这就导致教学内容中的拓展部分很少，或者直接没有实践拓展。所以，為了培养能够适应和支撑产业发展的应用型工程人才，课后的线上知识拓展部分是不可或缺的。而目前大部分线性代数的教材和教学资源中关于知识点的应用拓展都比较缺乏，所以教师要补充并及时更新相关的教学资源，将一些实际应用案例以微视频或文字的形式推送给学生观看学习，弥补这方面的不足。这些应用案例既可以涉及同学们感兴趣的一些热点话题，还可以和学生的后续专业学习相关。对每一个应用案例，可以按照问题描述、建立模型、求解模型、实验结果与分析、提高与拓展分为五个部分，对学生进行指导。学生在教师的指导下，通过具体应用案例的学习，可以初步建立建模思想，从而提高他们运用所学知识分析和解决问题的能力。课后线上的应用案例教学和拓展部分，虽然可以不做期末考试要求，但是为学有余力的同学提供了有效的能力提高途径。
以方阵的特征值与特征向量这一知识点的补充和拓展内容为例，对于特征值与特征向量的求法、几何意义这些知识点，可以从互联网的共享资源中选取或自制一些微课视频推送给学生课后复习、巩固。因为特征值与特征向量有重要的应用价值，比如在工业增长模型中、生态模型中、人脸识别系统中、马尔科夫稳态问题中等，很多地方都有应用，所以拓展实践部分的内容应围绕其实际应用设计。这方面的应用案例可以通过有关的文章、微视频或设计成数学建模问题等多种形式推送到线上，供学生阅读、学习并实践。虽然线下课堂学时有限，在课堂上很难进行过多的拓展，但是利用课后线上的这些教学资源，可以很好地弥补这方面的不足，极大地丰富学生的视野，锻炼学生的应用能力。
教师通过平台上的签到情况、作业的质量以及视频学习时长等，再根据学生对课后线上学习的体会与反馈，可以较好地掌握学生的学习情况，并及时对学生进行答疑辅导。经过教学实践证明，课后线上的这种拓展、评价方法对学生的课外学习起到了很好的辅助作用，取得了良好的教学效果。
结语
从线性代数这门课程“线上+线下”混合式教学的实践过程及取得的教学效果来看，混合式教学具有传统线下教学或完全线上教学不能够比拟的优势。是否能够充分发挥混合式教学的优势，合理有效的教学过程设计、线上线下教学素材的准备都是至关重要的。线性代数课程的教学设计应该根据线上与线下课堂的优势与短板、课程本身的特点及不同专业、不同基础学生的特点，合理地安排教学内容与教学时间，并采取适当的教学方法，充分发挥线上、线下两种教学模式各自的优势，实现优势互补。
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基金项目：江苏理工学院校级教改课题：大学数学“线上与线下”教学模式的探索（项目编号：11611212050）;江苏省高等教育教改课题：两分类、两贴近：应用型本科院校公共数学课程的改革与实践（项目编号：2021JSJG623）;國家自然科学基金（项目编号：12171206）
作者简介：刘海玉（1979— ），女，在读博士，讲师，研究方向：同调代数与环论;魏晓奇（1989— ），男，博士，讲师，研究方向：交换代数。
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