数学运算核心素养视角下的“三角函数”试题分析
许雅楠 黄在堂 孙艳雷 陈美贤
[摘 要] 数学运算素养是影响学生高中数学学习的一个重要因素，所以选择恰当的方法对学生现阶段数学运算素养落实情况进行考查是很有必要的. 在此基础上，以SOLO分类理论为指导，根据2016—2020年五年天津高考理科数学试卷所考查的“三角函数”知识点对数学运算素养水平进行划分，得到这五年天津高考对学生数学运算素养水平的要求，并由此给出提高学生数学运算素养的一些教学建议.
[关键词] 数学运算;三角函数;试题分析;SOLO分类理论
《普通高中数学课程标准（2017年版）》中提出了高中数学六大核心素养，分别是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，并强调学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过高中数学学习而逐步形成的正确价值观、必备品格和关键能力[1]. 其中数学运算能力的提高不但可以帮助学生提升数学学习的逻辑思维能力和空间想象能力，还是提高学生数学建模能力的有效途径，所以对学生数学运算素养落实情况的考查是很有必要的. 考查学生核心素养落实情况最有效的途径就是高考. 三角函数作为高考的必考内容，它是高中学习的一类重要的函数，涉及内容偏多，形式抽象，需要学生具有较强的抽象能力和概括能力. 同时，三角函数的学习内容与之前函数的学习内容共同形成了庞大的函数知识体系，所以三角函数一直在高考中占有重要的地位. 因此考查学生的数学运算这一核心素养的落实情况可以借助于2016—2020年五年天津高考理科数学试卷（下文简称为“2016—2020年天津高考卷”）中与三角函数相关的试题进行分析，根据SOLO分类理论所划分的单一结构层次、多元结构层次、关联结构层次和抽象拓展结构层次等四个层次来分析相关试题中表现的数学运算素养处于哪个水平，并给出提高学生数学运算素养的一些教学建议.
相关概念界定
1. 数学运算素养
数学运算主要表现为理解运算对象、掌握运算法则、探究运算思路和求得运算结果这四个方面，它是学生在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的一种数学素养，是解决数学问题的基本手段[1]. 通过高中的数学课程学习，学生能够根据具体的数学问题采用适当的数学运算方法，并在借助于数学运算能力解决实际问题的过程中进一步提高自身数学运算能力和数学思维的发展. 数学运算在一定程度上反映了学生的数学素养，数学运算的过程渗透着其他五个核心素养，数学运算贯穿中学生整个学生时代，是学生学习和未来社会发展的必备能力及品质[2].
2.SOLO分类理论
SOLO分类理论又称为“可观察的学习成果结构”，它是基于皮亚杰的认知发展理论建立起来的，并将皮亚杰有关认知发展水平具有阶段性的思想转换到了具体的学习任务中，使得SOLO分类理论中的思维操作模式、学习周期和阶段等概念均能得到合理的解释，并由原来的“学习者的行为”的评价目标转化为“学习行为的结果”的评价目标，从学习结果在结构上的复杂程度来评价学生的学习质量，从能力、思维操作、一致性与闭合、应答结构四个方面将学习行为的结果分成五个不同的层次，分别是前结构层次、单一结构层次、多元结构层次、关联结构层次和抽象拓展结构层次[3]. 这种方法使得评价目标的界定更加清晰、准确，从而提高了评价的信度与效度. 因此可以按照SOLO分類理论对2016—2020年天津高考卷中三角函数考点的相关试题进行划分. 由于思维水平处于前结构层次的学生的作答通常表现为空白或者偏离到一些毫不相关的问题上，所以对于这一层次的相关试题的分析可以舍去，并将其他四个层次分别用U，M，R，E来表示，由此给出了对应的数学运算素养水平（如表1所示）：
试题分析
三角函数在2016—2020年天津高考卷中的题型分布情况——各题型的分数（如表2所示）：
分析：这道题同样考查了三个知识点：结论①是对三角函数周期的考查;结论②是对三角函数最值的考查;结论③是通过函数图像上所有点的平移对三角函数图像变换的考查. 由此可以看出，该题仅仅是对知识点应用的简单考查，不要求学生将这些知识点联系起来综合应用而解决问题.因此这个问题属于多元结构层次，数学运算素养水平达到中等以上的学生能够解答.
2. 解答题的分析
表4展示了2016—2020年天津高考卷中解答题考查的三角函数知识点以及对应的SOLO结构层次，通过每个层次结构试题考查的知识点之间的关系来确定学生的数学运算素养水平.
从解答题考查的三角函数知识点来看，近五年的天津高考卷主要考查的是正弦定理、余弦定理，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式和两角和与差的正弦、余弦公式. 根据每年天津高考卷对应的SOLO结构层次可以看出，解答题对三角函数的考查都处于关联结构层次（R层次），以中等难度的问题为主，对学生数学运算素养水平的要求较高.
从表4中还可以看出，2020年天津高考卷考查了正弦定理、余弦定理，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦公式，需要学生熟练掌握这些知识点，并整体把握、综合应用，解决一些较为复杂的三角函数问题，处于SOLO结构层次的关联结构层次，对数学运算素养的要求较高. 同样，2016—2019年三角函数解答题也属于关联结构层次，需要学生具有较高的数学运算素养. 下面对2018年与2020年的关于三角函数的解答题进行分析：
2018年天津高考卷（第15题，13分）：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinA=acosB-.
（1）求角B的大小;
（2）设a=2，c=3，求b和sin（2A-B）的值.
分析：该题主要考查的是正弦定理、余弦定理，两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系式和二倍角公式. 由正弦定理可得bsinA=asinB，将其与bsinA=acosB-联立，求出问题（1）中角B的值. 结合问题（1）的结果与余弦定理得到b的值，根据题目的条件与同角三角函数的基本关系式可以得到sinA和cosA的值，再利用二倍角公式得到sin2A和cos2A的值，最后根据两角差的正弦公式得到sin（2A-B）的值. 所以将该题纳入SOLO结构层次的关联结构层次，对学生数学运算素养水平的要求较高.
2020年天津高考卷（第16题，14分）：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知a=2，b=5，c=.
（1）求角C的大小;
（2）求sinA的值;
（3）求sin2A+的值.
分析：该题主要考查的是正弦定理、余弦定理，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角和的正弦公式. 先利用余弦定理求出问题（1）中角C的值，然后根据正弦定理=与角C的值求得sinA的值再利用问题（2）的结果与同角三角函数的基本关系式和二倍角公式得到sin2A与cos2A的值，最后由两角和的正弦公式求得sin2A+的值. 由此可以看出，问题（2）和问题（3）都需要在前一小题的基础上进行解答，需要学生整体把握条件与问题得到最终的结果，因此该题同样属于关联结构层次.
总结
根据上述分析，我们不难发现2016—2020年天津高考卷中三角函数选择题对于数学运算素养的考查处于中等或较高水平，而这五年的天津高考卷中三角函数解答题从知识点、题型上看没有太大变化，对数学运算素养的考查一直处于较高水平. 因此，天津高考卷对三角函数的数学运算素养的考查基本处于较高水平并将一直处于该水平. 同时，这五年天津高考卷注重考查学生对三角函数性质、图像、恒等变换以及解三角形需要的一些重点知识的运用;重点考查学生对三角函数基本公式的灵活应用，包括诱导公式，两角和与差的正弦、余弦公式，正弦定理和余弦定理等;考查学生对三角函数知识的综合运用能力，全方面体现核心素养落实的情况. 如运用基本公式对三角函数式进行化简，注重学生对基本公式的灵活应用以及准确求解的能力，着重考查学生的数学运算能力;如解三角形，要求学生能够熟练掌握并灵活应用基本公式或定理，根据题目中的已知条件进行求解，需要学生具有较高的运算能力. 三角函数不仅是一种特殊的函数，还是考查学生数学运算能力的重要载体. 天津高考通过多样化的三角函数知识相融合的方式命题，体现了试题的综合性，有效地落实了学生的数学核心素养.
教学建议
1. 理解相关概念，明确运算对象
概念的深入理解可以帮助学生快速准确地明确运算对象，从而根据不同的运算对象找到对应的公式解决问题[4]. 如果学生没有掌握所学对象的概念，那么数学核心素养也很难得到提升. 比如，若学生对于三角函数的基本概念不明确，就会导致三角函数的公式和定理学不好，面对问题时不能准确地运用相应的公式、定理或法则进行运算，从而运算素养很难提升. 因此，教师在课堂中要注重数学概念的教学. 首先教学开始要注意让学生掌握概念的外延和适用的范围，适当给出一些比较容易混淆的相关概念让学生能够辨析;其次可以设定适合的情境，引导学生主动探究概念，从多个角度理解概念并建立起相关概念之间的联系，形成知识图式，加深学生对概念的理解，从而提高学生数学运算素养.
2. 准确记忆公式，灵活应用变式
数学公式是人们研究某个对象与其他对象间所得到的某种规律，数学公式产生的过程中包含着大量的数学思想、丰富的数学方法[5]. 高中学习的数学公式数量多且烦瑣，学生容易出现记不清公式或运用不恰当的情况，对学生的数学运算会产生很大的影响，甚至会影响学生的数学学习. 高考不是对数学公式简单的考查，而是通过变式的方式考查学生是否真正理解了数学公式的内涵. 因此，在数学公式的新授课上，教师不能一味地采用灌输式教学，而是要引导学生经历并理解公式的推导过程，这样学生才能更好地学会公式的正向、逆向或变式使用，促进学生数学思维的发展，加深对公式的记忆，提高数学运算素养水平. 比如，在三角函数教学时，教师可以通过单位圆的对称性引导学生推导出诱导公式，让学生通过推导的过程熟记公式并能够灵活应用.
3. 提高学生兴趣，培养探究能力
高中数学内容比起初中更加抽象、不容易理解，这就需要学生增强自身独立思考和探究的能力，而学生思考和探究的动力往往源于他们对知识的好奇心和兴趣. 只有当学生愿意学数学，才会对数学问题独立思考，在运算的过程中探究更多简便的运算途径，提高自身数学运算素养水平. 因此，教师在数学教学的过程中可以将数学与生活相结合，让学生感受到数学的实用性，从而培养他们的思考能力与探究能力，同时也能够帮助学生更好地学习其他科目[6]. 比如在讲解三角函数时可以联系数学史，通过讲述三角函数的发展历史，帮助学生深入理解三角函数的概念，引起学生的数学学习兴趣.
4. 聚焦数学知识，提升学科素养
数学知识是学生解决实际问题的工具，而数学学科核心素养的形成和发展是在学生学习数学知识和内化数学知识的过程中进行的. 作为一名数学教师，要以发展学生的学科核心素养为教学目标，这就要求教师在理解高中数学核心素养内涵的基础上，了解学科知识的要求和学生的认知发展水平，根据教材合理地安排教学内容，创设问题情境，引导学生自主探究，从而帮助学生充分理解数学知识. 在数学知识的学习中提高学生的理性思维和解决问题的能力，将学科核心素养的培养落实到每堂数学课中，提高学生的数学思维水平，使学生学会用数学的眼光看世界.
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.
[2] 陈秋婵. 基于SOLO理论的高中生数学运算素养的发展研究[D]. 闽南师范大学，2020.
[3] 彼格斯. 学习质量评价[M]. 人民教育出版社，2010.
[4] 王雪娇. 深度学习视域下高中生数学运算素养提升的策略研究[D]. 哈尔滨师范大学，2020.
[5] 闫惠泽. 基于波利亚解题思想的高中数学公式的教学研究[D]. 辽宁师范大学，2020.
[6] 崔妮娜. 高中生三角函数学习障碍调查与教学策略的研究[D]. 陕西师范大学，2019.
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