例谈新定义问题的特点与解题路径
顾晓峰
[摘 要] 新定义问题的解决要求学生在新情境中利用已有知识直接或间接地解决问题，对学生思维的灵敏性、综合性有着较高的要求. 文章通过对相关题目进行梳理和归纳，总结新定义问题的主要特点并提出解题路径.
[关键词] 新定义问题;特点;数学思维;解题路径
研究背景
在近几年全国各地的高考、模拟考试中，新定义问题因其设计新颖、思路开阔、追本溯源等特色而愈发受到命题者青睐，也开始有越来越多的一线教师进行研究. 不过，现有的研究成果并不多，且多局限于题型梳理，少有对该类问题的解决策略进行总结和提取[1][2][3][4]. 笔者通过对新定义问题的大量梳理并结合高三复习教学时学生解决该类问题的实际情况，总结新定义问题的特点、求解策略，形成一般研究路径，以期给读者提供一些素材与建议.
新定义问题特点
1.问题类型
从内容上看，新定义问题的类型可分为：新定义概念和新定义运算. 新定义概念是在已有数学概念的基础上，重组或变化一些條件，生成新的名词或通过给出新的性质来定义一个新概念;新定义运算是根据基本的运算法则和运算律，生成一种新的运算算理. 在一定程度上，新定义问题不完全是创新题，因为其依然根植于数学的基础概念、基本方法与基本思想.
从新定义的融入方式来看，可以分为附加式、变异式和沉浸式. 附加式指问题的本质依然是明确使用已有知识进行处理的常规问题，只不过是对其解决过程附加了一种说法或者对其结果附加了一个名词;变异式指对已有知识进行重组，或者对原有问题加以掩饰而“异化”为新问题;沉浸式是指定义的条件独立性强，问题背景与原有知识体系有差异甚至“产生冲突”，需要抛开固有套路而沉浸于新情境来解决问题.
2.问题命制
新定义问题的命制方法呈现出两种趋势，第一，高等数学知识的适度下放.如向量的外积（叉乘）、狄利克雷函数、凸函数、高斯函数、卡特兰数等，将这些新知识低深度地与学生现有知识相融合;第二，将已有概念内容或数学方法重新整合使之“面目全非”，通过有效转化便可“回归本源”.
3.问题特性
创新性：新定义问题的背景新颖独特，题目中常出现“定义”“规定”“称为”等词汇，定义内容与教材中的知识内容存在一定差异，并且有时表述抽象，要求学生必须首先仔细读题并明其新意，再进行解题.
综合性：新定义问题背景创新，综合联络不同知识点和知识块，综合运用各类数学思想方法，全面考查学生分析问题与解决问题的能力.包括明晰新概念的构成要素，挖掘与已有知识的关联并将已有方法进行迁移，对新问题进行转化等，指向学生数学核心素养的培养.
速用性：新定义问题的解决是指学生在规定时间内迅速学习并立即使用一个新的数学知识，这意味着学生需要在没有老师指导下的短时间内“现学现卖”，对他们的思维灵敏性要求很高.
新定义问题解决策略分析
1.按部就班
（1）直接应用与表示
例1 （2020无锡期末）回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读. 相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客;人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585， 2662等. 那么，用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ）
分析：本题属于新定义概念，变异式问题. 新数列与熟悉的等差数列和等比数列的定义不同，并使用了较为“数学化”的语言来表述，虽精练但抽象.基于条件信息中的关键词（“m项为0”“m项为1”“任意”“0的个数不少于1的个数”），将待求“规范01数列”的特征具体化：一共有8项，其中4项是0，4项是1，从前往后数无论数到哪儿，数到的0的个数都大于或等于1的个数. 根据转化后的条件，必有a=0，a=1，a到a的情况则通过列举法呈现，直观地进行计数.
新定义问题解题路径研究
基于波利亚的经典解题范式[5]以及新定义问题的特点、解决策略的分析，下面提出该类问题的解题路径（图3）：
第一步：理解定义，熟悉问题. 通过认真读题，确定题目的类型，理解定义中语言的表述，内容之间的逻辑关系以及目标是解决什么问题.
第二步：分析定义，制定策略. 分析新的定义与哪块已学过的知识相关，是该部分知识的重组或是变式或是扩充？迅速建立起已知（已习得的概念、方法、思想）与未知（新情境、新条件、新目标）之间的关联，制定解题策略.
第三步：利用定义，执行方案. 根据新定义的特点与解题目标，选择数学工具，按照合适的策略进行处理. 在解题过程中，需要逐步检查，来校验每一步结果是否符合新概念或新运算所提出的要求（满足定义的所有条件了吗？转化是否合理、等价？）.
第四步：回顾过程，反思定义. 解题完成后，回顾并审视关键步骤的严谨性，确保结果的可靠性，并进一步反思结果，加深对新定义的认识.
参考文献：
[1] 虞懿. 赏析2016年高考新定义型创新题[J]. 高中数学教与学，2016（12）：34-37.
[2] 姜世学. “新定义”型问题特征分析与解决策略浅析[J]. 上海中学数学，2018（11）：16-18.
[3] 黄杏，胡典顺. 近年来高考数学中“新定义”题型解析[J]. 数学通讯，2018（12）：35-38.
[4] 杨国平. 新定义问题的三个常考题型[J]. 中学数学教学参考，2020（15）：77-78.
[5] 波利亚. 怎样解题——数学思维的新方法[M]. 涂泓，冯承天译. 上海：上海科技教育出版社，2012.
猜你喜欢数学思维特点托老机构老年人呼吸系统感染的特点及防治对策健康必读（上旬刊）(2020年5期)2020-10-26冰岛高等教育改革：动因、路径与特点高教探索(2020年9期)2020-10-20情境教学法在高中数学教学中的有效性探究天府数学(2020年3期)2020-09-10试论数形结合思想在高中数学教学中的渗透途径高考·中(2020年12期)2020-09-10变电检修中SF6断路器的特点及其维护措施锦绣·下旬刊(2019年2期)2019-10-14有效追问，精彩课堂教育周报·教研版(2019年52期)2019-09-10小学数学思维中的“变”与“不变”世界家苑·学术(2019年9期)2019-09-10浅谈在小学数学教学中利用动手操作发展学生的思维能力学习周报·教与学(2019年45期)2019-09-10浅析小学数学思维能力培养的有效教学策略大众科学·上旬(2019年7期)2019-09-10