巧借几何直观，发展数学思维
孟庆敏
几何直观是指借助几何图形来描述和分析数学问题，增强对问题的直观理解，以符合学生的认知发展特征，帮助学生获得数学知识，实现解决问题的目的。采用几何直观的方式解决数学问题，可以将复杂的问题变得简单、形象，从而帮助学生理解题意和梳理关系，直观发现结论。在数学教学中，为了体现几何直观在教学上的独特价值，教师可以采用以下途径来实现其教学目的。
一、依托几何直观，呈现教学素材
在教学过程中，教师要直观地呈现学习素材，让学生经历操作过程，这样，学生的探究将会变得更加合理和有意义。
在教学“分数的基本性质”时，教师需要几组相等的分数作为学生探究、观察、发现的素材，但这个素材如何出现，学生在学习分数的基本性质之前又如何得到，是教师必须要思考和解决的问题。在教学中，有些教师只会简单而直接地出示“[12]=[24]=[48]”
“[13]=[26]=[39]”这样的研究素材，虽然也有观察、探究、总结规律的环节，但这样的两组数据是怎样得到的？它们的呈现有没有根据？很显然，缺乏根据，不利于学生规律的获得和过程的体验。
作为规律发现的起点，这组数据都是相等的这一事实，就可以通过几何直观予以呈现。教学时，教师可以要求学生用三张相同的正方形纸，通过折和涂的方式，表示它的[12、][24、][48。]学生在活动后对比涂色部分，因为这些分数所表示的涂色部分都是一样大的，所以，它们的大小是相等的。而[13、][26、][39]这三个分数，教师如果借助多媒体课件，分别在同样大的三个圆内表示出这三个分数，再通过对比，发现三个分数所表示的涂色部分也是同样大的，得到三个分数相等的结论。当然，教师也可以再次呈现[12，]让学生看到[12]与另外的三个分数相比，所表示的涂色部分大小是不一样的。因此，分数的大小也就不相等。
巧用几何直观，学生找到了两组大小相等的分数，如果想得到更多相等的分数，还可以继续用这样的方式去获得，有助于进一步探究知识。学生观察这些分数，发现分子和分母变化的规律，归纳出分数的基本性质，经历了知识的发现过程。依托几何直观得到的几组大小相等的分数，是学生动手做出来的，是看得见的事实，经过了一个严格的推理过程。
二、借助几何直观，发现数学规律
在教学中，对于一些抽象和复杂的问题，画出直观的图形，更加有利于学生深入分析问题，找到问题的规律和结论。因此，教师要培养学生借助几何直观解决数学问题的意识。
在教学“年、月、日”时，同样可以用到几何直观，帮助学生发现大、小月的规律，而且通过有效的探究材料，有利于学生发现规律。教学中，教师可以安排学生进行操作活动，从年历卡中找到各月天数，然后按照月份填写天数统计表。有了这样的表格，怎样才能更好地发现大、小月的排列规律呢？为了让表格变得更加直观，教师再次组织学生将31天的月份涂上红色，将30天的月份涂上绿色。学生涂好了颜色，就得到了一个色彩斑斓的表格，或者可以看成一个个色彩不同的长方形。观察这些颜色不同的长方形，规律就都有了：1.两种颜色的长方形间隔排列——天数分别为31天、30天的月份是间隔排列的。2.有两个长方形紧密相连、颜色相同——7、8月份是连续的两个31天的月。3.以颜色相同的两个长方形为界，前后的规律不同——7月和7月以前，单月大，8月和8月以后，双月大。4.有一个月份的天数与众不同——2月的天数很特殊，只有28天（当然，有的年份2月有29天）。
依靠一张简单的表格和表格中的数据，年、月、日的相关知识就全部包含在其中，这既为学生提供了可供探究的学习素材，又方便学生从中直观地发现年、月、日的规律。在表格中，规律与不同颜色的长方形严格统一，是学生可以从有颜色区别的长方形中直接得到的，教师只需要引导学生仔细观察表格，就能获得本节课教学的知识要点。如此开展教学，必然在学生的头脑中留下极其深刻的印象，实现借助几何直观发现、总结规律的重要价值。
三、利用几何直观，展现思维过程
利用形象直观的图形，可以展现思维的过程，它能够帮助学生打开思路，突破知识上的难点，找到解决问题的路径。这在很大程度上体现了数学中数形结合的思想，实现学生对问题的深刻理解。
在学习“用假设的策略解决问题”时，学生学起来感觉困难。这个时候，利用几何直观解决问题，就可以发挥重要的作用。教师不妨让学生画图，用直观图形弄清题目的条件和问题，在充分理解中快速找到解决问题的方法。
在进行综合练习时，教师安排这样一道习题：现有80名同学去划船，共租了12只船，每只大船可坐8人，每只小船可坐6人，如果每只船都坐满，租的大船有多少只？小船有多少只？解决问题时，可以通过画示意图的方式来找出答案。学生只要能画出图，看着图形，就可以在图上轻易地看出船该调多还是调少，从而让租船方法清晰可见。
在示意图上，每只大船坐8人，12只大船就坐了96人，但总人数只有80人，就要去掉多余的16人，在每只大船上依次去掉2个人，这样，小船就需要8只，大船则需要4只。学生借助画图，能直观地看到人数的对应关系。更重要的是，可以凭借图形很清楚地看到人员是该去掉还是该加上。几何直观扫清了学生思维上的障碍，让学生思考问题的过程充分外显，为他们轻易找到答案指明了方向。
四、结合几何直观，分析数量关系
在数学教学中，分析数量关系是解决实际问题无法避免的环节。在解决问题时，如果对数量關系的理解混沌不清时，结合几何直观画出示意图，就能帮助学生清晰地把握问题的数量关系。
在教学“相遇的路程问题”时，在拓展练习环节中，教师出示了一道实际问题：现有甲、乙两车，同时从相距680千米的两地开出，甲车每小时行85千米，乙车每小时行75千米，经过3小时，两车相距多少千米？学生根据刚刚学习的相遇问题数量之间的关系，很快列出了算式：680-（85+75）×3=200（千米）。问题似乎顺利解决了，此时教师提示学生反复细读题目的条件，找出暗藏的条件。有个学生发现条件中没有说明两辆车究竟是怎样开出的。教师进一步追问：“你认为会有几种情况呢？能不能画出线段图来表示呢？”在教师的引导下，学生画图展开思考，交流自己的解题思路。
在学生的交流中，两车从两地开出的方向需要分两种情况来考虑。第一种情况：从两地相向开出，列式是：680-（85+75）×3。第二种情况：从两地相背开出，列式是：680+（85+75）×3。在教学中，教师借助线段图的直观展示，从不同方面分析数量关系，很快帮助学生解决了题目中遇到的障碍。看似难以说清楚的问题，结合直观的线段图，就变得容易理解了。在线段图上，已知条件、要求问题和数量关系一一清晰地呈现在学生面前，实现了学生在认知难点上的自然突破。
由此可见，在数学教学中，借助几何直观可以有效地解决数学问题。在抽象的问题和形象的图形转换之间，原本隐晦的数学素材、规律现象、数量关系都具体地展示在学生面前，让学生能够摸得到、看得见、听得懂，真正实现了抽象的数学形象化教学的追求。然而，学生几何直观素养的培养是一个长期的过程，如果想让这种思维的方式深深植根在学生的心里，就需要教师经常训练学生自觉运用几何直观的意识和能力。
（作者单位：江苏省徐州市铜山区新区实验小学）
投稿邮箱：405956706@qq.com
猜你喜欢表格直观规律组成语小天使·三年级语数英综合(2020年4期)2020-12-23以数解形精入微以形助数达直观理科考试研究·高中(2019年7期)2019-09-17简单直观≠正确新高考·高二数学(2019年2期)2019-09-05履历表格这样填高中时代(2017年7期)2018-02-24下楼梯找规律小天使·一年级语数英综合(2017年10期)2017-10-31表格图的妙用小天使·六年级语数英综合(2017年10期)2017-10-20浅谈几何直观在初中数学教学中的运用数学学习与研究(2016年18期)2017-01-07借助几何直观 突破教学难点教学月刊·小学数学(2016年11期)2016-12-09巧解规律学苑创造·A版(2016年6期)2016-06-20填方格小雪花·成长指南(2015年5期)2015-05-25