数学视野下的冬奥冰雪运动
宋亦然 童莉
[摘 要] 会用数学的眼光观察世界，是数学素养的一个重要体现. 研究者从以下6个方面带领大家用数学的眼光看冬奥会：雪花曲线与分形几何、奥运五环与纽结理论、高山滑雪与最速降线、空中滑雪与斜抛运动、短道速滑运动员力争走内道、花样滑冰中旋转的数学秘密. 感受到了用数学的眼光看世界的魅力.
[关键词] 数学眼光;冬奥会;雪花曲线;纽结理论;最速降线
在我国举行的第24届冬奥会虽然已经落下帷幕，但它留下了太多的精彩令世人回味. 数学核心素养强调会用数学的眼光观察世界，当我们尝试用数学的眼光看冬奥会及其冰雪运动时，会在体育之外引发另一番有意义的思考[1]. 如满满数字感的开幕式就将数字“24”运用到了极致：第24届、2月4日、20：04开始、中国代表队在21：24亮相、中国传统二十四节气等，使“24”不再是一个枯燥数字，而是被独具匠心地赋予了丰富的含义，数字成了關联各种意义的灵魂. 下面，我们进一步用数学的眼光再看冬奥会及其冰雪运动[2].
雪花曲线与分形几何
冬奥会展示的是冰雪运动，当然离不开雪花. 人们常常感叹雪花的精美，有一个重要原因是它具有曲线美，而这种曲线的形成却有其数学的缘由.
数学中有一类曲线因其形状类似雪花而得名，被称为“雪花曲线”. 它可以这样得到：把一个等边三角形的每条边三等分，并将每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形，但要去掉与原等边三角形叠合的边. 接着对每个等边三角形尖出的部分继续上述过程，即将每条边三等分后的中段向外作新的尖形. 不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线（如图1所示）.
从数学的角度来看，雪花曲线吸引人之处在于：它具有有限的面积，却有着无限的周长. 即雪花曲线的周长持续增加而没有界限，但整条曲线却可以画在一张很小的纸上，它的面积是有限的，其值为原等边三角形面积的倍.
设原等边三角形的边长为a，则依次计算得到图1所示图形的周长及面积如表1所示：
雪花曲线从外表就能看出来的一个特性就是其任何部分都与整体相似，对这种图形上的自相似性的研究形成了一门学科叫“分形几何”. 其实，大千世界很多对象都可以运用“分形”来研究，如云层的边缘、山脉的轮廓、海岸线等.
奥运五环与纽结理论
每届奥运会都因东道国的不同而设计了不同的会徽，但所有会徽都带有“五环”标志，这一标志是由奥运会创始人顾拜旦提议设计的. 根据《奥林匹克宪章》的规定，奥林匹克标志在每届奥运会会徽中必须完整出现，不得改动.
尽管人们从人文意义上对奥运“五环”标志作了多种含义的解读，但其核心意义却是公认的，即象征着五大洲的团结以及全世界的运动员以公正、公平、坦率的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上相见. “五环”环环相扣的形象生动地表现了这一意境.
这五个圆环是如何环环相扣的呢？可以用数学的纽结理论来解释.
纽结理论是数学学科代数拓扑的一个分支，按照数学术语来说，是研究如何把若干个圆环嵌入三维欧氏空间中的数学分支. 纽结理论的特别之处是它研究的对象必须是三维空间中的曲线. 其实，这也是绳结魔术的数学道理. 如果考虑的不是一条闭曲线，而是n条闭曲线，要求它们既不自交也不互交，那么就得到了n圈链环的概念，奥运“五环”标志就是一个典型的5圈链环[3].
纽结理论被广泛应用于各种艺术设计，如图2所示就是一个6圈链环的设计方式：
纽结理论越来越引起人们的兴趣. 它除了被广泛应用于各种艺术设计外，还被应用于其他学科研究，如化学中的大分子空间结构的研究、遗传物质DNA的研究等.
高山滑雪与最速降线
高山滑雪是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目. 从场地设计来看，什么样的滑行曲线才能使运动员获得最快的速度呢？这涉及数学上的“最速降线问题”（Brachistochrone Problem）[4]. 此问题是1696年瑞士数学家约翰·伯努利在写给他哥哥雅克布·伯努利的一封公开信中提出的. 问题的提法是：设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连接A和B的平面曲线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速度为零的质点从A点到B点沿这条曲线运动时所需时间最短.
人们想象：在一个斜面上，摆两条轨道，一条是直线，一条是曲线，起点高度以及终点高度都相同. 两个质量、大小一样的小球同时从起点向下滑落，应该是直线上的小球先到终点. 但实验证明曲线上的小球反而先到终点（如图3所示）.
这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度，所以先到达终点. 然而，两点之间的直线只有一条，曲线却有无数条，那么，哪一条曲线才是最快的呢？伽利略于1630年提出这条曲线应该是一条圆弧，可是后来人们推翻了这个结论. 1696年，约翰·伯努利从理论上证明了这条最速降线是一条旋轮线.
数学中的旋轮线是如何形成的呢？其实，当一个圆沿一条直线运动时，圆周上的一个定点M所形成的轨迹就是旋轮线. 如图4所示，设滚动的圆的半径是r，φ是圆的半径所经过的弧度（滚动角），则可以得到旋轮线的参数方程为x=r（φ-sinφ），y=r（1-cosφ）.
旋轮线又称钟摆线. 摆钟的摆锤所划过的弧线就是钟摆线，它其实是倒过来的旋轮线（如图5所示）. 当摆钟的摆锤沿这样的弧线摆动时，每个摆动周期的时间都是相等的. 正因如此，钟摆线也叫等时线[3].
空中滑雪与斜抛运动
这里所指的空中滑雪运动主要指跳台滑雪、自由式滑雪空中技巧. 这两个项目有一个共同特点，就是运动员先要通过一段距离的滑行，获得一定速度后通过跳台跃向空中. （如图6所示）
影响这两项运动比赛成绩的因素除了运动员在空中的技巧外，还有运动员在空中滑行的高度和滑行的距离. 那么，运动员如何才能获得理想的滑行高度和距离呢？以下从数学的角度进行分析.
我们可以将运动员从跳台滑向空中的运动视为物体的斜抛运动. 斜抛运动有斜上抛和斜下抛之分，显然，这里讨论的两项运动都属于斜上抛运动. 根据运动独立性原理，可以把斜抛运动视为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的上抛运动的合运动来处理.
这个二次函数所对应的函数图像即图7中的抛物线，可以通过上式求得做斜抛运动的物体在水平方向上最大的位移s和竖直方向上最大的高度h.
短道速滑运动员力争走内道的数学秘密
在短道速滑比赛时，我们看到在转弯处领先的运动员总是想把内道的位置牢牢控制住，而在很多情况下，速滑运动员为争夺内道的位置常发生碰撞和其他犯规情况. 在弯道时为什么内道的位置这么重要呢？
从这个结果可以看到，弯道半径R是决定弯道滑行时间t的唯一变量，R越小，滑行时间t越小，所以在短道速滑中，抢占内道就显得极其重要了.
花样滑冰中旋转的数学秘密
旋转是花样滑冰中一个非常重要的技术动作，也是花样滑冰中极具美感和具有观赏性的动作之一. 在欣赏花样滑冰时，你会观察到一个现象：运动员在原地旋转时，双手展开时转速不快，但将双手收回接近身体时旋转速度会变快. 这是为什么呢？
物体以一定的角速度旋转时要形成一定的动能，并遵守角动量守恒定律. 以花样滑冰旋转为例，该定律通俗一点的解释就是：在忽略质量的情况下，运动员旋转的速度和运动员旋转的手臂（或其他肢体）形成的旋转半径的乘积是一个常量（如图9所示）.
运用到运动员的旋转技巧上：开始旋转时，若运动员将手臂伸开，这样旋转半径R变大，旋转速度会慢一些;然后收回手臂，或将原来伸开的手臂逐渐向上伸举，这样整个身体的旋轉半径R变小，根据角动量守恒定律，此时旋转速度就会增大. 所以就会看到花样滑冰运动员收回手臂时旋转速度会越来越快.
以上从数学的角度欣赏了冬奥会的某些场景和冰雪运动，其实还有一些冰雪运动也蕴含着深刻的数学原理，如“U型池尺寸的设计”“冰壶运动的技术要点”等，如果用数学去分析它们，用数学模型去解决它们，那么将会有惊人的发现. 这一切让我们感受到了数学与生活的联系以及数学无穷的魅力.
参考文献：
[1] 马蒂亚斯·路德维希. 数学与体育：数学视角下的奥林匹克项目[M]. 徐斌艳，译. 上海：上海教育出版社，2012.
[2] 黄翔，童莉，史宁中. 谈数学课程与教学中的跨学科思维[J]. 课程·教材·教法，2021，41（07）：106-111.
[3] 普通高中课程标准选修课程用书数学D类. 体育运动中的数学[M].北京：人民教育出版社，2021.
[4] 马文东. 从光学极值思想到最速降线问题[J]. 数学通报，2019，58（04）：51-53.
[5] 曾文艺. 定点投篮中的数学问题[J]. 数学通报，1994（07）：44-46.
作者简介：宋亦然（2001—），浙江省温州肯恩大学理工学院数学系在读本科生.
通讯作者：童莉（1976—），博士，教授，曾获全国数学硕士优秀导师称号、全国教育硕士教学成果二等奖，从事数学教育测评、数学教师专业发展研究工作.
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