学函数,悟思想,通新知
程辉
我们学习数学不能单纯地依赖模仿与记忆，自主探索、合作交流才是学习的重要方式。因此，我们在学习了二次函数的图像与性质后，有必要运用已有的二次函数学习经验研究新的问题。
我们如果要尝试探究函数y=[2x2][-12]x的圖像与性质。首先，根据已有的学习函数的经验，观察出自变量x的取值范围是x≠0。
其次，列表，在x≠0的附近（左右两边）选取自变量x的几个值，计算函数y对应的值。
再次，以表中各对x、y的值为点的坐标，在平面直角坐标系xOy中描出对应的点。
最后，用平滑的曲线连接描出的各点，画出该函数的图像，如图1。
观察该函数图像，我们发现：
①由于x≠0，所以曲线与y轴没有交点。
②图像是两支曲线，分布在第一、二、四象限。
③在第二象限内，曲线有最低点，最低点的坐标是（-2，[32]）。
④当x<-2时，y随x的增大而减小;当
-2
⑤函数没有最大值，也没有最小值。
有了函数的图像，我们还可以进一步研究新问题，如过点P（0，m）作直线l⊥y轴，则直线l与函数y=[2x2][-12]x的图像至少有一个公共点，最多有三个公共点。对应关于x的方程[2x2][-12]x=m，当m<[32]时，方程有一个解;当m=[32]时，方程有两个解;当m>[32]时，方程有三个解。
【积累经验】对于函数问题，其研究路径是：分析函数的表达式→列表、描点、连线画出函数图像→利用函数图像观察、研究，发现其性质→运用函数图像解决问题。
例 数学社团的同学根据学习函数的经验，研究函数y=[62x-12+a]-3的相关性质和应用。以下是他们研究的部分过程，请你按要求回答下列问题。
（1）列表，下表中列出x、y的部分对应值：
[x y … … -3 [-3111] -2 [-5119] -1 [-73] 0 -1 1 3 2 b 3 [-73] 4 [-5119] 5 [-3111] … … ]
根据表格中的数据计算出：a=__________，b=__________;
（2）根据上表中的数据在如图2所示的平面直角坐标系中已经描出部分点的位置，请继续通过描点、连线的方法，画出该函数图像，并写出该函数的一条性质：__________;
（3）已知函数y=x+[12]的图像如图2所示，结合你画的图像，直接写出方程[62x-12+a]=x+[72]的解。（结果保留1位小数，误差不超过0.2）
【解析】（1）根据待定系数法，将x=0，y=
-1代入y=[62x-12+a]-3，得-1=[62+a]-3，∴a=1。
函数为y=[62x-12+1]-3，把（2，b）代入，得b=-1。
（2）描点、连线，画出函数图像如图3。
观察图像，我们发现：
①函数图像是轴对称图形，对称轴是直线x=1。
②当x<1时，y随x的增大而增大;当x>1时，y随x的增大而减小。
③当x=1时，函数y有最大值，最大值是3。
（3）观察图像，方程[62x-12+a]=x+[72]的解为x=-3.4或x=0.8或x=1.2。
（作者单位：江苏省东台市实验中学）
小试牛刀
借鉴已有研究函数的经验，探索函数y=[x2-2x-3]-2的图像与性质，研究过程如下，请补充完整。
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
[x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … y … 10 m -2 1 n 1 -2 3 10 … ]
其中，m=__________，n=__________。
（2）根据表格数据，在平面直角坐标系中描点，并画出函数图像。
（3）观察函数图像：
①写出函数的一条图像性质：__________;
②当方程[x2-2x-3]=b+2有且仅有两个不相等的实数根时，根据函数图像直接写出b的取值范围为__________。
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