从科学归纳走向深度理解
张翠华
【摘 要】在教学教学中，普遍存在着合情推理教学“思维过程不完整、表征猜想不充分、解释原委不科学”等问题，严重影响了学生推理和创新能力的培育。合情推理教学应凸显过程性，夯实“发现和提出问题”的教学，注重“结论”的解释说理，尤其要正视学生认知的“低水平”和数学理解的“高要求”之间的矛盾，着力通过“科学归纳推理”实现“深度理解”，真正让学生“知其然又知其所以然”。
【关键词】合情推理 提出问题 科学归纳推理 深度理解
波利亚曾说过：“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占据适当的位置。”合情推理教学关乎小学生推理和创新能力的培育，但在教学一线合情推理的教学却存在着诸多问题。笔者以“3的倍数特征”为例，谈一谈自己的思考和教学尝试。
一、“合情推理”教学中的尴尬
（一）合情推理的过程不完整
在教学苏教版数学“3的倍数特征”时，教材是以百数表中3的倍数为例，借助计数器引导学生发现并概括3的倍数特征，期待学生基于已有经验产生认知冲突，并通过合情推理初步获得发现，从而培养学生初步的推理能力，积累相关数学活动经验。但是，在获得3的倍数特征后，教材仅仅要求学生举出几个反例来“强化”已有“发现”，并没有立足“一般化”，引导学生去“证明”或解释说理。这样组织教学既不符合知识发展的规律，也会增加学生“不求甚解”思想的风险。
（二）“提出问题”的教学不充分
发现问题和提出问题是合情推理思维活动的起始环节。当学生通过对百以内3的倍数的依次研究发现：12（1+2=3），15（1+5=6），18（1+8=9），21（2+1=3）……意识到其中是有规律的，便产生用语言表达的冲动，这就是发现问题的过程。在此基础上，超越具体上升到一般，严谨表述出一个结论性的东西（数学上也称为命题），这就是提出问题的过程。小学阶段提出问题多以自然语言表征为主。从发现问题到提出问题，个体的思维必然要经历一个从混沌到清晰的过程，问题的本质将进一步得以凸显，解释证明的方向将进一步明确。但常见的教学行为是将“发现问题”视作“提出问题”，不再给予学生进一步思考的机会，转而由教师代为“提出问题”，剥夺了学生“用数学语言表达”的权利，影响了其创新能力的发展。
（三）解释“原委”的方法不科学
基于合情推理得到的“结论”具有偶然性，正确与否尚需证明。受学生思维发展水平以及数学知识的抽象性两大因素制约，相关“证明”活动往往以“举例验证”的方式展开，以期学生获得对结论的信服与接纳。如让学生再找一些3的倍数，算出各个数位上数的和是3的倍数;或找一些不是3的倍数的数，算出各个数位上数的和不是3的倍数等。然而再多的举例验证还是合情推理，只能进一步强化结论的可信度，并不能解释或证明其合理性和正确性。事实上也正如许多学生所担心的那样——万一有例外呢？
二、化解“尴尬”的教学尝试
（1）要凸显过程性，即引领学生切实展开完整的合情推理过程，并着重强化“发现问题和提出问题”的教学;（2）要追求理解性，即正视学生认知现实的“低水平”与数学理解的“高要求”之间的矛盾，引领学生基于“科学归纳”展开分析、说理，进而实现深度理解。
（一）夯实发现表征过程，明晰命题结构
1.观察比较，基于经验寻找
师：老师将大家找到的3的倍数用圆圈圈了出来（见图1）。
师：仔细观察，你有什么发现？
生：从1开始每3个数中有1个3的倍数。
生：这里3的倍数都排成了斜行，而且都相差9。比如第一斜行12-3=9，21-12=9，其他斜行也是。
生：以3打头的那一斜行每个数都是3的倍数，以9打头的也是这样。
生：图中3的倍数个位上0～9的每个数都有。
学生们的发现总是发散的、开放的，但发现问题的视角大都停留在3的倍数的排列特点和大小关系上。少数学生受研究2和5倍数特征经验的影响，对个位展开研究发现了不是规律的“规律”。接下来教师还是要继续等待，以“逼出”新的发现，并通过群体的“社会化学习”激发学生对问题本质的认识。
2.切换视角，获得创新发现
师：我们换个角度来研究，还能有什么发现呢？
生：我发现以3打头的那一斜行，除了3之外每個数个位和十位的和都是3，如1+2=3，以6或9打头的数，每个数个位和十位的和都是6或9。
师：这倒是一种新发现，同学们都来研究一下，看是不是这样？
生：是的。不过我也有新的发现——以30、60和90打头的这几个斜行，每个数个位和十位的和都是3的倍数，如3+9=12、6+9=15等。
师：发现又进了一步，真的都是这样吗？
生（欣喜）：真的是这样，都是3的倍数。
生：每一斜行上个位和十位上数的和都是3的倍数。
在课堂学习中，教师营造的“期待”“等待”过程就是一个“孕育”的过程。当学生切换了视角，基于计算、抽象、概括等活动，从不同的对象间找到相同的特点、感受到蕴含其间的规律，并产生了表达的冲动，这便完成了“发现问题”的思维过程。
3.举例验证，归纳提出问题
师：如果是三位数、四位数或更大的数有没有这样的现象呢？请同学们借助表格再任意举一些例子，算一算，然后说说自己的发现。
生：只要这个数是3的倍数，那么它各个数位上数的和就是3的倍数。如果一个数不是3的倍数，那么它各个数位上数的和就不是3的倍数。
生：是的，各个数位上数的和是3的倍数，应该就是3的倍数的共同特征。
生：想判断一个数是不是3的倍数，就可以看它各个数位上数的和。
……
在发现问题的基础上，引导学生通过举例验证进一步确认和强化之前的发现，可以进一步激发学生的表达欲。学生通过对现象特点的归纳、抽象、概括并以文字语言形式表达出来，便完成了“提出问题”的思维过程，即得到了一个猜想。
（二）借助操作直观探析，把握问题关键
1.及时反思，审慎探究
师：我们有了自己的发现。现在最要紧的是要做一件什么事情呢？
生：做练习。
师：不是做练习。我们通过研究几个例子获得了发现，这个发现就一定是对的吗？
生：不一定。因為3的倍数有无数个。
生：是的，我们没有一个个地研究，万一有例外呢？
师：大家的想法很好，接下来还要进一步地研究才行。
2.借助直观，体察关键
师：“132”这个数是3的倍数，你能根据数的组成用手中的学具摆出“132”来吗？
生操作展示（见图2）。
师：1个百里最多可以分掉多少个3，还剩下几？3个十里面呢？请大家分一分、圈一圈，然后说说自己的发现（见图3）。
生：1个百里最多有33个3，圈掉99还剩下1，1个十里最多有3个3，圈掉9还剩下1，3个十就剩下3。
生：剩下的数正好就是“132”。1+3+2=6，6里面正好有2个3。
师：也就是说，从“132”各部分中先圈掉的那些数都是3的倍数，而各部分剩下的数合起来也正好是3的倍数。
师：请大家像这样再圈一圈“245”，看看又有什么发现。
生：从“245”的各部分中也可以圈掉一些3的倍数，剩下的数正好是“2、4、5”，这些数合起来不是3的倍数，所以“245”不是3的倍数。
师：大家想一想在这两个数中，决定它们是不是3的倍数的关键在哪里？
生：关键在分剩下的那些数上。这些数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，这些数的和不是3的倍数，这个数也就不是3的倍数。
一个猜想的提出总会给人带来愉悦的精神享受。但此时更重要的是要保持一种审慎的态度，理性对待这一“伟大的发现”，进而展开进一步的充分“论证”，这是展开深度学习必须要葆有的一种优秀品质。借助直观，根据数的组成学生发现每一个计数单位里总有一个3的最大倍数，这个数无疑就是3的倍数。当剩下的数的和也是3的倍数时，这个数也就一定是3的倍数了。因此判断一个数是不是3的倍数，关键就要看这些“分剩下的数”。至此，学生对其中的原委已经有了较为直观感性的了解，但距离形成清晰而理性的认知尚有一段路要走。
（三）尝试数学形式推演，获得“原委”理解
1.借助直观，理解抽象
师：其实“132”这个数还可以这样表示。
板书：132=（100×1）+（10×3）+2
=（99+1）+（9×3+3）+2
=（99+9×3）+（1+3+2）
师：同学们，你们能结合刚才圈一圈的过程说说你对这里算式的理解吗？
生：“132”是由1个百、3个十和2个一组成的，从1个百里分掉1个99还剩下1，从3个十圈掉3个9还剩下3，剩下的数正好就是“132”各个数位上的数。
生：（99+9×3）一定是3的倍数，（1+3+2）也是3的倍数。所以“132”是3的倍数。
2.基于推演，洞悉本质
师：你能再举出一些3的倍数，像刚才那样写一写、说一说吗？
生：354=（100×3）+（10×5）+4=（99×3+3）+（9×5+5）+4=（99×3+9×5）+（3+5+4）。“354”是由3个百、5个十和4个一组成，从3个百里可以分掉3个99还剩下3，从5个百里可以分掉5个9还剩下5，3+5+4=12，12是3的倍数，所以“354”是3的倍数。
生：2538=（1000×2）+（100×5）+（10×3）+8=（999×2+2）+（99×5+5）+（9×3+3）+8=（999×2+99×5+9×3）+（2+5+3+8）。从2个千里分掉2个999还剩下2，从5个百里分掉5个99剩下5，从3个十里分掉3个9剩下3，2+5+3+8=18，18是3的倍数，所以“2538”是3的倍数。
……
师：通过以上的活动，你有什么发现？
生：我发现每个数像这样分一分，最后剩下的数都是原来的那个数。
生：我发现每个数位（除各位以外）上有几个计数单位，分掉3的最大倍数后就余几。余下来的数的和是3的倍数。
生：现在我知道看一个数是不是3的倍数为什么要看各个数位上数的和的道理了。
……
上述的形式化推演实际上就是一个“科学归纳推理”的过程，虽然其不是严格意义上的演绎证明，但它是基于对一类事物部分对象的分析研究，通过演绎推理揭示了对象与其属性之间必然的因果联系，因而可以用来解释说理。为降低学生的理解难度，教师先直接给出形式化推演过程让学生结合之前的直观操作解释每一步的含义，赋“抽象操作”以“直观背景”。再让学生照样子写一写、说一说，促成学生获得新的发现——数位上有几个计数单位，分掉3的最大倍数后总会剩下几，一个数是不是3的倍数就是由这几个数决定的。这样，学生就获得了判断一个数是不是3的倍数关键特征“原委”的理解。
合情推理的教学，尤其要注重“大胆猜想提出问题”和“审慎分析解释说理”的教学，让学生在习得知识的同时有更深刻的理解，在“探究与深究”中发展数学学科核心素养。