在“图形与几何”教学中培养学生的空间观念
汤丽红
[摘 要]培养学生的空间观念是义务教育阶段几何课程的主要目标之一。教师应在视觉直观、动作直观、表达说理、想象辨析、沟通联系、学以致用中培养学生的空间观念。
[关键词]图形与几何;空间观念;培养
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2022）05-0078-03
空间观念是“数学十大核心概念”之一。空间观念主要是指能根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体，想象出物体的方位和物体之间的位置关系，描述图形的运动和变化，依据语言描述画出图形等。培养学生的空间观念非常重要，下面笔者就结合实际教学，对培养学生空间观念的途径做初步探索。
一、在视觉直观中发展空间观念
空间观念的形成基于对事物的观察与想象。观察是分析和解决问题的基础，是认识事物最直接的方法，也是发展数学技能的基本方法之一。观察策略对认识几何概念、理解和掌握图形的特征、提升空间想象力等都有十分重要的作用。观察策略在“图形与几何”的教学中是必不可少的。
1.在比较中观察
教学中，教师通常会把相似或相反的事物放在一起，让学生在认识各个事物特征的基础上，发现它们的相同点与不同点。
例如，教学“长方形和正方形的初步认识”时，学生通过对长方形和正方形的观察、对比，列出了长方形和正方形的异同点（见表1），从而发现两者之间的关系：正方形是特殊的长方形。
通过观察、对比，学生对图形的特征进行抽象与概括，从而发展空间观念。
2.在变化中观察
学生对于实物、图片、图形等的直观认识应重在观察、比较、辨析异同，不仅要观察物体的表面特征，还要抓住其本质。在教学中，教师通常会在不改变几何图形特征的情况下，通过变换图形位置或改变图形形状让学生认识几何图形的本质。
例如，教学“线段”时，当学生发现线段都是直直的、有两个端点后，教师出示一组图形让学生判断是否是线段（如图1）。
有学生认为⑤和⑥不是线段，理由是⑤太粗、 ⑥太短。对于学生的这个观点，教师并没有直接下定论，而是让学生各抒己见，在争论中逐渐理解线段可长可短、可粗可细，位置也可变化，只要它是直直的、有两个端点，那它就是线段。
3.在有序中观察
在“图形与几何”单元中有数图形个数的题目（如图2），这类题学生的正答率比较低。教学中，教师可先给学生独立思考的时间，再让学生交流，分享不同的想法。有的学生是随便数的;有的学生是先数边长是1 cm的正方形的个数（9个），再依次数出边长是2 cm、3 cm的正方形的个数（分别有4个和1个），最后把边长是1 cm、2 cm、3 cm的正方形的个数相加，得出这个图形中一共有14个正方形;还有的学生数的方法与第二种类似，就是数的顺序不同。教师对三种不同数法给予肯定的同时，引导学生思考：哪种数法能做到不重复、不遗漏，又有序？学生得出结论：面对比较复杂的图形时，先分类，再计数，能做到不重复、不遗漏，又有序。
二、在动作直观中发展空间观念
对学生而言，获取知识的最好途径就是动手操作。学生只有在活动的基础上才能构建几何知识体系。空间观念的形成离不开动手实践，只有让学生自主参与、亲历体验，他们才能充分表达自己的想法。
1.操作
小学生的思维处于由直观形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。教学“图形与几何”时，学生往往离不开动手操作，教师只有充分调动学生的各种感官，才有助于学生积累学习经验。教师可以结合教学内容适当地安排拼摆、折叠、划分、测量、割补以及制作模型等活动，以便促进学生空间观念的發展。
例如，在教学“平行四边形的认识”时，学生通过三次不同的操作活动，亲历平行四边形的形成过程。第一次：用两条宽度不同的长方形彩带交叠出不同形状的平行四边形，在“实验—观察—概括”的过程中初步认识平行四边形。第二次：以问题“平行四边形具有怎样的特征”为任务驱动，用自己喜欢的方法自主探究平行四边形的特征，在“观察—猜想—验证”的过程中发现平行四边形的特征。第三次：想一想“如果用两条宽度相同的长方形彩带交叠，会出现什么图形”，学生在“猜想—实验—验证”的过程中探究平行四边形的特例，并梳理出平行四边形、长方形、正方形之间的关系。通过教师的精心设计，学生在操作活动中既亲历平行四边形的形成过程，又发展了空间观念。
2.画图
特级教师曹培英在《跨越断层，走出误区：数学课程标准核心词的解读与实践研究》一书中提出：画图是学习几何知识、发展空间观念的常规直观手段。教学“图形与几何”时常常会用到画图这一策略，通过画图可以丰富学生的几何认知，帮助学生理解几何概念，变抽象为直观，发展学生的空间观念。有一些几何问题往往是以大段文字的形式出现的，如果学生的空间想象力和理解能力比较弱，那么就很难解决问题。但画图能够架构起图形与文字间的桥梁，沟通算法与算理，有利于培养学生的空间观念。
例如，有这样一题：市民广场原先有一个长方形水池，长7.5米（如图3），改建后，这个水池的长增加了2米，宽不变，占地面积增加了10.8平方米，现在这个水池的占地面积是多少平方米？
如果不画图，很多学生想象不出改建后的水池的样子，毫无解题思路。可如果根据题目条件画出增加的部分（如图4），就让抽象的数学条件变得直观，能求出长方形水池的宽，那么改建后水池的面积也就可以算出来了。
三、在表达说理中发展空间观念
特级教师曹培英老师在《跨越断层，走出误区：数学课程标准核心词的解读与实践研究》一书中还提出：小学生正处在以表象为主的直观辨认水平向以特征为主的初级概念判断水平发展，这种发展的中介，就是用语言概括、描述物体的特征。教学中，教师应引导学生抽象概括，把图形及其位置关系的本质特征表达出来，在说理中发展学生的空间观念。
例如，教师在教学时设计下题。
学生已经认识了正方形、长方形、平行四边形和梯形，也知道了这些图形的特征及它们的关系。当只露出这些图形的一部分时，学生就要调用已有的认知经验，根据露出的部分图形推测出完整的图形。比如对第一个图形，有学生这样表达：“首先，正方形和长方形都有四个直角，而这个图形露出的两个角都不是直角，所以这个图形不可能是正方形，也不可能是长方形。然后我看到这个图形的一组对边是平行的，又只看到了另一组对边的其中一条边，那么另一组对边有可能平行，也可能不平行，所以它可能是平行四边形，也可能是梯形。”
接着，教师利用多媒体验证学生的猜想。这个环节不仅激发了学生的学习兴趣，给予学生思维的空间，彰显学生的思维差异，更有助于学生在说理中深刻理解四边形，有利于学生空间观念的发展。
四、在想象辨析中发展空间观念
课程标准中提出的几何学习目标：根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出以文字描述的实际物体。如何更好地实现这一目标呢？教师在教学中如果能提出有思维空间的问题，引导学生通过观察进行思辨，经历想象与再现过程，便能更好地促进学生空间观念的发展。
例如，在教学“正方体的展开图”时，很多教师都会引导学生进行操作活动，通过拼搭学具来加深对正方体展开图的认识。的确，操作有助于学生积累学习经验，帮助学生根据物体特征抽象出几何图形，但学生脱离了学具之后，就不一定能根据几何图形想象出以文字描述的实际物体。在操作活动之后，教师要引导学生经历抽象推理的过程，只有这样才能让学生展开想象。
教学中，当学生经历了将正方体展开，再折成正方体这个操作过程之后，教师给出一些用6个正方形拼成的图形，让学生不操作学具而直接展开想象，判断哪些图形能够折成正方体。学生在脑海中通过翻、折、拼、转，思维实现了从立体到平面，再从平面到立体的飞跃，甚至还给出了一个推理的过程：选择一个正方形作为正方体的底面，依次将各个对应的面找到，用简单的六个字概括就是“上”“下”“前”“后”“左”“右”。看似简单的想象过程，却让学生经历了严谨的抽象推理过程，帮助学生摆脱了依赖实际物体的习惯，有利于学生空间观念的发展。
五、在沟通联系中发展空间观念
几何知识是由一个个章节、一个个知识点连接而成的。如果教师能根据知识点之间的内在联系巧妙设计学习活动，就能引导学生厘清知识点之间的关系，沟通它们之间的内在联系，进一步发展学生的空间观念。
例如，在教学“梯形”时，当学生已经认识梯形，知道梯形各部分的名称，并能正确辨析梯形后，教师提出问题：“梯形与你之前学过的平行四边形、三角形之间有怎样的关系呢？”学生看着屏幕上的梯形陷入了沉思。不一会儿就有学生激动地回答：“我知道！当梯形的上底慢慢延长，直到与下底一样长时，它就变成了平行四边形。”又有学生抢着回答：“我要补充！当梯形的下底慢慢缩短，直到变成与上底一样长时，它也变成了平行四边形。我还发现当梯形的上底或下底缩短成一个点时，它就变成了三角形。”教师根据学生的说法利用多媒体演示梯形变成平行四边或三角形的过程。以上教学中，教师巧妙地連通了梯形与平行四边形、三角形的内在联系，有机渗透了转化思想方法，进一步发展了学生的空间观念。
六、在学以致用中深化空间观念
若将空间观念的培养与生活情境紧密结合，会收到事半功倍的教学效果。教学中，教师可以结合生活情境巧设问题，让学生在解决生活问题的过程中充分展现思维过程，进一步发展空间观念。
例如，在教学“长方体的表面积”后，教师设计以下练习。
劳动技术课上，小亮要做一个无盖的盒子，老师提供了6种规格的木板，在不切割木板的情况下，选择其中几种规格的木板来做盒子。请将选择的木板序号和块数填入表格中（见表2），并计算出该盒子的表面积。（接缝处忽略不计）
交流反馈时，学生给出了三种不同的答案：②号木板2块，④号木板2块，⑥号木板1块，这个盒子的表面积是164 cm2;②号木板2块，④号木板1块，⑥号木板2块，这个盒子的表面积是152 cm2;②号木板1块，④号木板2块，⑥号木板2块，这个盒子的表面积是144 cm2。
教师顺势小结：“不同的选择，做出来的无盖盒子的表面积也不同。”说完话锋一转，马上追问：“三种答案的背后有什么相同点？”经过讨论，学生一致认为，实际上这个盒子的长、宽、高是相同的。在解决这道题时，首先根据长方体的特征（共有6个面，其中相对的2个面完全相同）在头脑中想象出长方体，再选择合适的木板，因为是无盖的盒子，所以只要求出5个面的面积总和，这样去掉6个面中的任意1个面都行，因此会有三种不同的答案。在开放的问题情境中，学生不仅发展了空间观念，也体验到了学习数学的价值。
培养学生的空间观念不是一蹴而就的，而是需要教师在研读教材与分析学情的基础上精心设计教学活动，引领学生经历想象、探究的过程，将空间观念的培养落到实处。
（责编 黄 露）
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