让学生的思维向深度不断漫溯
林锋
[摘 要] 文章“用配方法解一元二次方程”教学为例，提出促进学生思维不断发展的教学路径，即创设情境，引入新知;思维展现，形成新知;师生互动，掌握方法;思维升级，逐步转化. 让学生从质疑开始，在类比中感悟，在联想中领悟，促进学生的思维向深处不断漫溯.
[关键词] 配方法;方程;数学思维
目前，教学投机性与教学功利性的现象依然存在，部分教师大量使用导学案、导读单，直接呈现问题的结论，没有让学生经历发现与探究数学知识的过程，忽略了学生思维的发展. 在学习数学知识、方法或模型时，教师应引导学生经历知识、方法或模型的产生发展过程，让学生在自我发现与创造中实现思维的深入发展. 下面以“用配方法解一元二次方程”教学为例进行说明、分析.
教学过程
1. 创设情境，引入新知
问题1：目前，以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，2021年底全市5G新增用户为3.92万户，求全市5G用户数年平均增长率.
问题2：目前，以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万户，2021年底全市5G用户累计达到8.72万户，求全市5G用户数年平均增长率.
生：问题1，设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底5G的用户数为2（1+x），2021年底5G的用户数为2（1+x）2，根据题意，得2（1+x）2=3.92，（1+x）2=1.96，1+x=±1.4，所以x=0.4=40%，x= -2.4（舍去）. 因此全市5G用户数年平均增长率为40%.
师：关于解一元二次方程，有几种方法？你使用的是哪一种解法呢？为什么可以用这种方法呢？
生：我们已经学习了两种解一元二次方程的方法，即直接开平方法与因式分解法，这里使用的是直接开平方法，因为这个方程有ax2=b（a，b>0）的特征.
师：这位同学不仅回答了使用哪种方法，而且说明了使用这种方法的理由，即必须具有一定特征的方程才可以使用直接开平方法.
设计意图 教学中，应尊重学生的主体地位，让学生经历自己发现并归纳新知的过程. 本环节教学，笔者设置了两个彼此关联的实际问题情境，让学生回顾直接开平方法的运用过程，体验直接开平方法的运用. 问题2旨在说明学习新方法的必要性，激发学生的认知冲突，为新知的学习做好铺垫.
2. 思维展现，形成新知
师：如何解决问题2呢？
生：设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底5G用户有2（1+x）万户，2021年底5G用户有2（1+x）2万户，依题意得2+2（1+x）+2（1+x）2=8.72，整理后得x2+3x-1.36=0， 不能用因式分解法来解，怎么办呢？
师：请同学们认真思考一下有没有什么好的办法.
生：如果可以把x2+3x-1.36=0转化为ax2=b（a，b>0）的形式，就可以使用直接开平方法来解了，那如何转化呢？
师：同学们想一想，对于a2+2ab，如何才能转化为（a+b）2的形式呢？如果能把x2+3x转化为（a+b）2的形式，是不是就可以使用直接开平方法来解了？
生：x2+3x+
2=
x+2，可以实现转化，但是如何处理-1.36这个常数项呢？同时也不能在方程里突然加上一个数
2.
生：为了使方程的左边加上
2之后，所得结果仍是等式，可以在方程的右边也加上
2，而原来的常数项可以移项到方程的右边变为正数. 即x2+3x+
2=
2+1.36，即
x+2=3.61，x+1.5=±1.9，所以x=0.4=40%，x= -3.4（舍去）.
师：同学们通过配成完全平方式的方法，把一个二次三项式转化为一个完全平方式，其中运用的是完全平方公式. 像上面这样，把一个一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边是一个非负数，这样方程就可以用直接开平方法来解，这种解一元二次方程的方法就叫配方法.
设计意图 从特殊到一般是数学中常用的数学思想. 本环节由特殊形式的一元二次方程到一般形式的一元二次方程，教师启发学生通过变形方程，把一般形式转化为特殊形式，即把一般形式的一元二次方程转化为ax2=b（a，b>0）的形式，从而引出了配方法，这是一个把新问题转化为旧问题的过程. 学生运用类比的方法，展现了思维过程，训练了语言表达能力与概括能力，促进了数学思维的发展.
3. 师生互动，掌握方法
师：运用完全平方公式把一般形式的一元二次方程转化为ax2=b（a，b>0）的形式，是用配方法解一元二次方程的关键所在. 那运用该方法解题的具体步骤是怎样的？
生：第一步把常数项移项，把常数项放在方程的右边;第二步在方程的两边都加上一次项系数一半的平方;第三步写成完全平方式;第四步开平方;第五步求出未知数的值.
师：这位同学总结得很到位，那么对于x2-8x+1=0该如何配方呢？
生：移项，得x2-8x=-1，配方，得x2-8x+16=-1+16，（x-4）2=15，开方，得x-4=±，所以x=+4，x= -+4.
设计意图 用配方法解一元二次方程的关键是配方，即方程两边都加上多少才能形成完全平方. 本環节首先让学生根据上述解答过程总结归纳利用配方法解一元二次方程的一般过程，然后给出一个简单的例子让学生尝试配方，加深学生对配方法的理解. 需要注意的是，关于一元二次方程形式的变化，学生学起来有一定的难度，教师应采用循序渐进的方法，促使学生对新知识的进一步理解.
4. 思维升级，逐步转化
师：刚才我们已经学会了解一元二次方程x2+3x-1.36=0与x2-8x+1=0，那么如何求解一元二次方程2x2-4x=15呢？
生：首先在方程的两边都除以2，得x2-2x=. 然后在方程两边都配上一次项系数一半的平方，得x2-2x+1=+1. 配方，得（x-1）2=，开平方，得x-1=±，所以x=+1，x= -+1.
师：这位同学的做法很好！这道题与上面两道有何不同？解决方案又有何不同呢？
生：此方程的二次项系数不是1，而上面两道方程的二次项系数都是1，因此在解这个方程时，比上面两个方程多了一个步骤，即把二次项系数化为1，其他的步骤都是一样的.
师：请同学们尝试解一元二次方程3x2-6x-4=0.
生：移项，得3x2-6x=4，二次项系数化为1，得x2-2x=，配方，得x2-2x+1=+1，即（x-1）2=，开平方，得x-1= ±，所以x1=1+，x2=1-.
设计意图 学习数学的一般规律是从易到难，在上述整个教学过程中就遵循了这个规律. 首先尝试解特殊形式的一元二次方程，再解二次项系数为1的一元二次方程，最后拓展为二次项系数不为1的一元二次方程. 在学生已掌握二次项系数为1的一元二次方程解法的基础上，让学生通过类比的方法尝试解决二次项系数不为1的一元二次方程. 如何把新问题转化为旧问题呢？教师引导学生利用等式的性质，先在方程的两边都除以二次项系数，把二次项系数化为1，然后再配方，最后利用配方法的一般步骤完成解答. 这样的教学设计符合教学规律与学生的认知规律，设计的问题链调动了学生的学习积极性，促进了学生思维的进一步深入，有效发展了学生的思维能力.
教学启示
1. 由质疑开始
质疑有利于调动学生思考的积极性，是探索新知识的有效路径. 教学中，笔者通过设置实际问题情境引发学生思考，问题1能利用直接开平方法求解，问题2不能用直接开平方法求解，说明了配方法的必要性. 学生在质疑过程中，激发了求知欲，为新知的学习做了铺垫.
2. 在类比中感悟
所谓类比是指把属性相同的两个对象进行对比，从而猜想在其属性上也具有相似或相同的思维方法. 如教学中通过问题2与问题1的类比，启发学生利用完全平方式转化一元二次方程，得到如问题1中的一元二次方程的特殊形式. 学生经历了知识的形成发展过程，引申出了配方法. 又如通过二次项系数为1的方程与二次项系数不为1的方程之间的类比，让学生感悟并总结配方法的一般步骤.
3. 在联想中领悟
解一般形式的一元二次方程，学生先联想形如x2=a的形式，然后联想到完全平方公式，在联想中，学生二次创造出配方法. 通过知识点的关联、形式的关联、方法的关联，為二次创造新方法指引了方向，在新旧知识间建立了联系，把新知识融入已有认知结构中，加强了学生思维的逻辑性与全面性，促进了学生思维向深度不断漫溯.
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