教育数学观下的余弦定理教学设计
秦瑾 吴静 刘家琪
【摘要】传统的余弦定理教学中，几何法、向量法、解析法的推导教学屡见不鲜，且对学生的知识广度要求较高.而张景中院士提倡要优化数学课程结构、重建三角体系，使知识更加适宜教与学.在教育数学思想的指导下，通过正余弦的转化设问，构建等式，将三角部分的知识一线串通，形成一种新颖的相对独立、不依赖旧知识、不需要技巧性的余弦定理教学新方式.
【关键词】余弦定理;教育数学;新方式
【基金项目】扬州大学大学生科创基金项目，本项目得到“江苏高校品牌专业建设工程资助项目（数学与应用数学，PPZY2015B109）”经费资助.
数学教学的改进有时是方法的改良，有的是内容的改造.张景中院士提倡优化数学课程结构，重建三角体系就是一个开创性的成果.
一、余弦定理傳统教学简介
余弦定理是高中数学的重要内容，除了求解三角形问题的重要功能之外，还藏有丰富的奥秘[1]，余弦定理被安排在高中教材必修5第一章“解三角形”的第二节部分，正弦定理之后.
余弦定理的教学多是复习引入、生活情境引入，希望从新问题出发，引发学生对余弦定理的思考探究，再从新的角度采用不同的证明方法对余弦定理加以证实，一定程度上建立了知识间的联系.比如，王志国视余弦定理为主干知识节点，开展微专题“余弦定理”的教学设计[2];昌明从勾股定理出发，以猜想发现为先导进行余弦定理课堂教学设计[3];龚有顺则基于知识、认知和教学“三序合一”理论进行余弦定理的教学设计[4].
余弦定理的证明，有通过向量的加减运算得到所要求的边的向量表示，然后运用求向量的模长的方法来进行探究的向量法;运用到三角形内角和为180°和正弦定理asin A=bsin B=csin C来探究的几何法;对三角形建立直角坐标系，通过两点间距离公式来探究的解析法[5].
无论是课题引入还是定理证明，余弦定理的教学，前提是学生必须对向量、坐标系等知识掌握牢固并能灵活运用，或需要化归为正弦函数解决，必须熟练掌握三角恒等变换.因此，传统的余弦定理教学对学生知识广度的要求较高，同时从新角度引入余弦定理的证明也需要一些技巧性，需要学生对新问题的解决思路有足够的洞察力.
二、重建三角体系下余弦定理的知识解读
张景中院士的重建三角体系，称余弦定义为余角的正弦，并根据正弦的性质推导出了余弦的相关性质[6].在新教学体系中，余弦定理安排在九年级上册，位于正弦体系和余弦的定义与性质之后，可以看出整个余弦部分内容的教学都是建立在正弦教学基础之上的.
本文所提供的引入和证明方法直接从前面所学的正余弦内容出发，类比正弦的教学发展过程引出，得到相类似的等式，再通过等式的运算变化得到结论.此方法不同于传统证明方法，不需要运用其他章节的向量、坐标系等有一定难度的知识点，而直接在所学过的正弦体系和余弦定义性质的基础上展开，对学生知识掌握的起点要求低，同时能够将三角部分的知识一线贯穿，思维更加流畅自然，更易于教与学，并且能够很好地锻炼学生知识迁移、举一反三、细致观察的能力.
这里虽然探讨的余弦定理的推导，也在一定程度上依赖于对正弦定理推导的理解，但为我们找到了一种相对独立、不依赖有一定理解难度的旧知识、不需要技巧性的教学新方式.
三、教育数学观下余弦定理的教学设计
本文对于余弦定理的证明推导，从正弦定理的表现形式出发，通过将表达式的正弦替换成余弦设问，进而对等式进行相应的变化，最终得到余弦定理的表达式;然后再通过一些小问题来研究余弦定理的一些推论;最后以课堂小结的方式来帮助学生加强对本节课知识点的掌握.
【教学目标】
1.理解余弦定理的推导过程，并能借助余弦定理了解相关推论.
2.经历正余弦的转化设问、变换等式推得余弦定理的过程，发展观察、分析、解决问题的能力和逻辑推理能力，体会分类讨论和转化的思想.
3.在定理的推导过程中，感受三角、几何、方程的相关性，体会数学的环环相扣以及数学学习的趣味性.
【教学重难点】
教学重点：余弦定理的推导、余弦定理的推论.
教学难点：余弦定理的推导.
【教学过程设计】
1.复习引入
【教师引语】在前面的学习中，我们已经学习过有关正弦与正弦定理的相关知识，通过上一节课，我们也掌握了余弦的定义和性质，同学们思考一下，是否有余弦定理存在呢？接下来我们先回顾一下前面学习的内容.
如图所示，在△ABC中，自顶点A作高线AD，教师引导学生运用正弦定理表示AD：不论∠B和∠C的大小如何，总有b·sin C=c·sin B=AD.
教师提问：若将上述表达式中的正弦换成余弦，等式还成立吗？若不成立，可以得到什么？
【设计意图】从正弦定理的一种表现形式出发构建等式，既带领学生回顾复习了正弦定理，也再一次彰显了正弦的特色.余弦的教学依赖于正弦，通过将正弦转换成余弦设问，自然地将学生的思维过渡到余弦定理的探究教学上，逻辑清晰明了，教学自然流畅.
2.新知探究
学生自主探究之后，教师解答图中三种情形：
引导学生分组讨论，总结三个等式之间的联系，并进行课堂交流，最后教师总结：在三种不同情形下，都成立一个相同的等式：c·cos B+b·cos C=BC=a.
【设计意图】将最初构建的表达式中的正弦换成余弦，学生会发现等式不成立，并且不同的三角形中也有不同的等式成立，但通过教师最后总结，启发学生寻求本质，发现共性，为进一步推导余弦定理做铺垫，让学生体会分类讨论的思想，发展学生细致观察的能力.
教师引导学生轮换三角形顶点的字母，可以得到：
在任意△ABC中，若以对应小写字母记为各角的对边长，就有
从上述三个等式来看，如果把三角形的三边当成已知数，把三个角的余弦当成未知数，那么（1）式就成了一个三元联立一次方程组，可以利用加减消元法或代入消元法将方程转化成二元方程来解，此过程由学生自主完成.教师可提供额外的特殊解法，展示如下：
【设计意图】通过引导学生轮换三角形的字母，得到三元一次方程组，从而将余弦定理的推导简化为解方程组的问题.由学生自主探究解法，培养学生运算推理能力，学生有能力用消元法解出方程组，但是教师提供一种特殊解法，旨在培养学生的发散性思维，增强数学学习的趣味性.
3.拓展提升
余弦定理的出现，给出了表达三角形边角关系的新方式，新的公式总有值得深入探究的地方.教师可连续发问：
问题1：如果考虑一些特殊情况，我们从余弦定理可以推得哪些结论？
在之前的学习中，我们通过正弦和角公式从∠C为直角推出a2+b2=c2，在学习了余弦定理之后，进一步知道，从a2+b2=c2也可以推出∠C为直角，即在△ABC中，a2+b2=c2的充分必要条件是∠C为直角.学生对勾股定理和它的逆定理的认识又深入了一步.
问题2：已知△ABC的三边a，b，c，如何求三角形的面积？
在传统的求三角形面积的方法中，我们普遍运用正弦面积公式进行求解，但在只知三边，却不知角度的情况下，怎么求解呢？能否利用余弦定理及一些三角公式推得新方法？教师组织学生先自主探究，并给予提示，能否利用角化边以及角的等量关系来消灭公式中的角？教师给予解答：
由此可见，公式的组合使用能够得出许多奇妙的结论.
【设计意图】当得到了余弦定理之后，就可以借助這个有用的工具得到更多有趣的结论，让学生感受到知识间的关联性，适当地拓展提升，有助于激发学生的思维，提升学生的创造力，也能满足资优学生的学习需求.
4.课堂小结
【教师结语】本节课我们由正弦定理引入，通过正余弦的转化设问，进入余弦定理的探究中，我们通过解三元一次方程组，得到了余弦定理，并进一步探究了它的一些推论，我们可以感受到三角、方程、几何被紧密地联系在一起.希望同学们在学习完本节课之后，不仅能够很好地掌握余弦定理及其推论，更要能够学会运用旧知识发掘新问题，有意识地拓宽自己的思维.
基于教育数学思想下的余弦定理及其推论的教学设计，以三角部分的知识为出发点，一线贯穿，环环相扣，有其超出于传统的亮点，值得我们借鉴使用.
【参考文献】
[1]吴志鹏.余弦定理 不得不知的奥秘[J].中学数学教学，2019（1）：41-43.
[2]王志国.微专题“余弦定理”的教学设计与反思[J].数学教学通讯，2020（9）：23-25.
[3]昌明.以猜想发现为先导的课堂教学设计探究[J].数学通报，2016（7）：25-27+39.
[4]龚有顺.基于“三序合一”理论的高中数学教学——以“余弦定理”教学为例[J].中学数学教学参考，2017（21）：8-11.
[5]徐飞.在定理教学中培养高中生数学反思能力的案例研究——以《余弦定理》课堂实录为例[J].中学数学研究（华南师范大学版），2016（24）：5-7.
[6]张景中.一线串通的初等数学[M].北京：科学出版社，2009：4-80.
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