优化教学设计
於红忠
【摘 要】数学教学不仅要使学生掌握必要的基础知识，更重要的是教给学生一种思想方法。数学思想方法渗透的教学策略可以从以下几个方面进行，在知识的形成发展中，渗透数学思想方法;在知识的总结反思中，提炼数学思想方法;在感受数学历史的过程中，丰富数学思想方法。
【关键词】教学设计 数学思想方法 渗透
数学思想方法是数学的灵魂，要想学好数学、用好数学，就要将数学思想深入到数学的“灵魂深处”。数学教学不仅要使学生掌握必要的基础知识，更重要的是教给学生一种数学思想方法，也就是说，数学教育的真谛在于构建灵动的思想，有机地渗透数学思想方法，从而培养学生良好的思维品质。数学家波利亚曾说过：“完善的思想方法，犹如北极星，许多人通过它而找到了正确的道路。”数学学习正是这样，只有合理地运用思想方法，巧妙地优化教学设计，才能轻松高效地解决各种数学问题，形成数学技能。
一、在知识的形成发展中，渗透数学思想方法
由于数学教材所呈现的知识是“显性”的，数学思想方法往往蕴涵其中，以“隐性”的方式由教师通过课堂教学渗透于知识的发生、发展过程之中。学生掌握数学思想方法与理解知识、形成技能并不同步，需要经历一个从模糊到清晰的过程，因此，教师在实施数学思想方法教学时应以渗透为主线，引导学生把这些知识消化吸收成具有“个性”的数学思想，逐步形成用数学思想方法指导思维活动，这样，学生在遇到同类问题时才能胸有成竹，从容应对。
近期，笔者听了特级教师杨传冈老师执教的三年级上册“间隔排列”一课，为了让学生探索出间隔排列的两个物体之间的数量关系，获取间隔排列的规律，杨老师精心设计了如下的教学环节：
师：这是跳绳队的专用跳绳（图略），是由黑、红相间的串珠串起来的，仔细观察你有什么发现？
生：一个红珠子接着一个黑珠子。
师：把黑、红珠子一个接着一个排列的方式在数学上叫“一一间隔排列”。（接着老师依次出示教材中兔子和蘑菇、木桩和篱笆、手帕和夹子的图片）。
师：这三组图片有什么共同的规律呢？
生：它们都是一个隔着一个排列的。
师：仔细观察，谁多谁少？你能不能通过观察每一组物体的数量，找一找规律呢？
学生交流之后，师生共同完成（见表1）。
师：仔细观察这张表，你有什么发现？
生：每一组都相差1。
师：谁的数量多？多的物体总是排在哪里？
生：两边的物体多，总是排在最前面和最后面。
接着教师将一年级“比多比少”的知识呈现给学生，帮助学生建立认知，进行迁移类推，巧妙地寻找到一一间隔排列现象与一一对应的切合点，以动态的形式反映了知识的内在逻辑联系，在此基础上引导学生将小兔和蘑菇圈一圈，通过将三组图片一组一组地圈，学生会发现“兔子的只数比蘑菇多1”“木桩的个数比篱笆多1”“夹子的个数比手帕多1”。在完成这一教学环节之后，教师将例题中的这些物体进行抽象符号化，用△和○分别代表图中的物体，让学生再一一对应圈一圈。
△○△○△○△○△○△○△
学生通过圈一圈，很快发现两种物体一一间隔排列，如果首尾都是同一种物体，第一种物体比后一种物体的个数多1，如果后面还有很多，就继续圈，这样就能知道哪一种物体多。到此就完成了从具象到物象，从特殊走向一般，从有限走向无限，让学生经历抽象概括、归纳验证的过程，这种符号化思想的应用，既能让知识呈现多样化，又可展现学生个性化的一面，以期达成学生对知识的内化。
二、在对知识的总结反思中，提炼数学思想方法
数学思想方法贯穿在整个数学教材的知识点中，以内隐的方式融于数学知识体系。在全课小结、知识整理或单元复习时，教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪些基本的思想方法，及时对某种数学思想方法进行概括与提炼，使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质，提升课堂教学的效果。
在教学五年级上册的“解决问题的策略”一课时，笔者着重思考了一个问题：怎样在本节课的结尾部分提升一下，形成一个高潮？于是笔者做了如下教学设计：
例1：王大叔用22根1米长的木条围成一个长方形花圃，怎样围面积最大？这道题承载的任务是让学生认识一一列举策略，学会有序列举。学生在找到隐含条件“一条长加一条宽等于11米”之后，通过列表有序列举出五种围法。
在即将下课时，笔者将例1中的“22根1米长的木条”换成“50根1米长的木条”，修改后的题目是：王大叔用50根1米长的木条围成一个长方形花圃，有多少种不同的围法？怎样围面积最大？此题一出，学生惊呼，50根！数据太大，怎么算呀？学生们惊呼过后渐渐平静下来。笔者问，你打算用什么方法解决？学生回答用列举的策略，同时也说出了疑虑：“难道要把不同的围法都一一列举出来吗？那也太多了吧。”笔者紧接着说了一句：“是呀，都要列举出来吗？”
一段生成智慧的时间过去了，很多学生找到了答案。他们说，从题目中可以知道，一条长加一条宽等于25米，按顺序列举，第一种是长24米、宽1米的长方形;第二种是长23米、宽2米的长方形……但是我们只要找最后一种，是长13米、宽12米的长方形，再看宽，是从1米到12米，所以共有12种（见表2）不同的围法，最后一种围法的面积最大。
学生在解决这个问题之后都有一种开心的获得感。当笔者问他们如果不是用50根木条，而是用100根木条围，你们还感到难吗？学生异口同声地说：不难！学生们都自信满满！
这道提高题只是将例题中的“22”换成“50”，却收到了很好的效果，筆者及时地引导学生从动手发现状态自然过渡到动脑思考状态。学生在回顾自己刚刚的解答过程时，有了进一步的发现与思考，学会了更精炼的总结与提升，进而掌握了数学思想方法。正如听课老师所说：这道题具有较强的冲击力，它立刻让学生处于欲言不能的愤悱状态。学生会静下心来，对比前后两题，发现规律，找出有多少种不同的围法。问题解决了，规律找到了，学生对一一列举策略的价值认识就更深了。
三、在感受数学历史的过程中，丰富数学思想方法
在数学教学中，教师可以适时引入数学史，更好地帮助学生理解数学知识，提高其对数学的宏观认识;教师还可以对学生进行人文教育和美育熏陶。因而教师应加强数学史的学习、加强多学科知识的融合能力，丰富自身的阅历，启发和引导学生认真阅读教材中的数学史知识，在指导学生阅读的同时渗透数学思想方法，为他们今后的学习打下坚实的基础。
在教学五年级上册“用字母表示数”这一课时，为了更好地渗透符号思想，让学生理解a×4的意义，新授环节的后半段笔者优化了教学设计：
师：现在我看到字母，就会立刻想到它可以代表一个数量，如看到字母a，它可以代表一个苹果的重量，还可以代表一支钢笔的价钱，你看到字母a会想到它代表什么？
生：a表示一个篮球的价钱……
师：当你看到“a×4”，你又会想到表示什么？
生：
4本数学书的重量、4支鋼笔的价钱……
师：同学们的想象真丰富。在历史上，数量和数量之间的关系，我们人类最初是用文字表达的，用文字来表达，显然比较烦琐。因而，古希腊数学家丢番图想到了用“缩写”的方法来表示，仿照丢番图的方法，这里的“每个重量×4”，取“重”发音的第一个字母，表示成“z×4”。那么“每个价钱×4”和“每班人数×4”怎样用缩写的方法表示？
生：用“j×4”“r×4”来表示。
师：丢番图用字母的缩写来表示数量间的关系，虽然简洁了，但每个字母都表示特定的意思，不能把“z×4”“j×4”混同起来，所以，并没有给数学家研究数学带来更多的简便。到了16世纪，法国数学家弗朗索瓦·韦达想：如果把各种情境中字母表示的特定意思都去掉的话，不都是一个数和4相乘吗？所以，他就归纳成了“a×4”，这里的a还是特定的意思吗？
生：不是！
师：对，字母“a”已经不表示任何具体的意义，只是一个符号而已。自从弗朗索瓦·韦达把字母当作符号来表示数之后，许多数学难题得到了解决，数学获得了飞速发展，弗朗索瓦·韦达被称为现代代数学之父。故事的最后，老师想请大家猜猜，从丢番图用缩写的方法表示数到弗朗索瓦·韦达把字母当作符号来表示数，用了多少年？
生：300年、500年、1000年、1200年……
师：对，整整1200年！（学生情不自禁地发出了惊呼） 同学们，一方面我们应该为历史上无数数学家百折不挠、呕心沥血献身于数学研究的精神而感动，另一方面也为我们自己用了40分钟就跨过了人类认识提升的1200年历史表现出的巨大学习潜能而骄傲！
“用字母表示数”的简写规则是学生学习的一个难点，笔者把简写规则设计在一个有趣的故事里，将数学史知识贯穿其中，调动学生多种感官参与教学活动，既渗透了数学思想方法，又为学生从故事中解开“为什么要这样简写？”“这样简写有什么意义？”等疑问，丰富了学生的阅历，开阔了学生的眼界，提高了学生的数学素养和思维品质。
小学阶段主要的数学思想方法有：化归思想、符号思想、数形结合思想、对应思想等。这些数学思想的渗透往往贯穿整个小学阶段，它不仅能增加学生的学习兴趣，启迪学生的思维，培养学生的创新意识和实践能力，还有利于学生领悟数学的真谛，提高学生分析问题、解决问题的能力。只有优化教学设计，合理、有序地渗透数学思想方法，才能达到“随风潜入夜，润物细无声”的教学效果。
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