“椭圆的定义与标准方程”教学设计与反思
谢晓兵
一、基本情况
（一）学情分析
学生是中职模具专业二年级学生，该班为模具专业升学班，学生要进入高职院校继续学习。数学知识方面已经学习了圆的定义与标准方程，掌握了求曲线方程的基本方法;专业方面学习了CAD软件制图，并能加工简单工件，具有较强的动手能力。
（二）教材分析
数学是模具专业的一门公共基础课程，本课选自高等教育出版社《数学拓展模块》第2章第1节内容，授课题目为《椭圆的定义与标准方程》，用时2学时。前面已学习圆的定义与方程，后面要学习双曲线和抛物线，具有承上启下的作用。
1.教学目标
（1）理解椭圆的定义、标准方程;
（2）能根据条件求参数a、b、c的值。
2.教学重点
理解椭圆的定义;掌握两类椭圆标准方程。
3.教学难点
椭圆标准方程的推导过程。
二、教学过程
（一）课前准备
通过蓝墨云班课平台发布四个课前任务。
任务一：观看小视频“装修师傅的烦恼”。此视频是一个真实案例，讲述一个木工师傅做椭圆形天花吊顶的烦恼，视频最后提出问题——你能帮装修师傅解决他的烦恼吗？从而激发学生的学习兴趣。
任务二：观看微课《两钉一线法绘制椭圆》。通过微课的学习，初探椭圆定义，并尝试解决装修师傅的烦恼。
任务三：收集生活中有关椭圆的图片。让学生发现生活中的椭圆图形，体验数学与生活的联系。
任务四：完成课前小测。主要是一些简单的概念解析题，用于检测学生课前预习的情况。如判断题：到两定点距离之和等于常数的点的集合叫作椭圆。许多学生选择了“对”，并在讨论区对答案提出了质疑。显然，学生忽视了“距离之和小于定点间距离”这个条件，对概念的分析不够全面。
（二）课堂实施
1.情境导入（如图1、图2）。通过播放卫星绕地球飞行的视频引出课题，并展示学生收集的生活中的椭圆图片，及时表彰学生善于观察的好习惯。演示平面截圆锥的flash动画（如图3），解释“圆锥曲线”这一概念。
图1
图2
图3
2.合作探究。（共分四个环节）
（1）“探”定义。两钉一线画图小实验，实验中各小组利用图钉和细线，按照规定（椭圆定义）画图，通过实验发现画出的图形为椭圆。
进一步分析画图过程，观察绳长与兩钉间距离的关系。三角形两边之和大于第三边分析得到“绳长大于两钉距离”。此处很好地解释了学生在课前测试中椭圆定义忽略了“大于两定点距离F1F2”这一条件。通过学生动手实验，学生自行建构椭圆定义。
进而总结出椭圆完整定义，并引出焦点、焦距的概念。通过实验探究，提问引导，层层递进，使学生深刻理解椭圆定义，及2a>2c这一关键条件。
（2）“推”方程。结合学生画出的椭圆图形，教师指出建立直角坐标系的方法。并通过建、设、写、列、化五步法推导椭圆方程，利用两点间的距离公式列出方程，通过化简运算得到椭圆方程为a2/a2+y2/a2-c2=1，通过设a2-c2=b2，从而将方程化为标准方程x2/a2+y2/b2=1。
（3）“析”参数。学生对参数b与a、c关系存在疑问。带着疑问，教师通过构建直角三角形的动态演示，用勾股定理验证参数关系，并得到参数a最大这一重要结论。
（4）“定”口诀。教师引导学生观察焦点在x轴上椭圆方程，共同归纳方程特征为“左边加来右边1，大是a来小是b”。
教师提问，焦点在y轴上的方程又如何呢？
通过小组讨论，有学生提出将刚才画的椭圆旋转90度，就得到了焦点在y轴上的椭圆，也有学生提出把x和y位置互换即可得到焦点在y轴的椭圆方程。
教师对学生的大胆猜想给予充分的肯定，引导学生进行类比学习，结合图形，强调y轴上的椭圆焦点坐标写法不同。
通过表格对比，从图形、方程、焦点坐标等归纳相同点和不同点。师生共同归纳口诀：“标准方程要牢记，左边加来右边1，大是a来小是b，焦点与a永不离。”并将判定焦点所在轴的方法凝练成“大底定轴”四个字。口诀化的方法易学易懂，帮助学生快速掌握两类椭圆的标准方程。
3.知识巩固。本环节主要通过例题和练习来巩固所学的新知，分三个环节。
（1）快问快答。已知方程求焦点所在轴及a、b的值。①x2/25+y2/16=1;②y2/9+x2/5=1。
说明：通过快问快答的形式，检测学生判定焦点及参数a、b的掌握隋况，并强化“口诀”方法的运用。
（2）例题讲解。例题1：已知椭圆的焦点在轴上，焦距为8，椭圆上的点到这两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程。（根据已知条件求方程）
说明：此题重在考查学生对定义的理解，通过作图演示，将距离之和转化为2a，定点间距离转化为2c，利用参数关系求出6的值，从而求出标准方程。
例题2：求下列椭圆的焦点和焦距。①x2/5+y2/4=1;②2x2+y2=16。
说明：两道题分标准方程和非标准方程两种情况，焦点在不同轴时，焦点坐标的写法不同，学生容易出错。为了解决这个易错点，从简单的标准方程入手，再到非标准方程，数形结合分析解决问题。
（3）练习提升。练习1采用拖拽游戏的形式，重在训练学生判定焦点和求a、b、c的方法。教师通过平台推送小游戏，学生利用手机进行操作，拖拽的形式如做游戏，极大提高学生的兴趣。
练习2：求下列椭圓的焦点和焦距。①x2/25+y2/9=1;②7y2+9x2=63。
根据条件求焦点，学生需将答案规范写在学案并拍照上传至云平台，学生代表利用一体机进行展示与讲解。针对学生重思路分析，轻计算过程与规范表达的情况。引用华为故事，5G技术是复杂算法的突破，任何一个细小的错误都无法完成，激励学生提高计算能力，养成严谨规范的做题习惯，适时进行思政教育。
4.在线小测。围绕本课的重难点，设置了五道不同层次的在线测试题，教师通过蓝墨云班课发布测试题，讲解答题规则，借助平台的即测即改功能，得到每个学生的准确答题情况，便于开展针对f生辅导。
5.实际应用。教师让各组拿出生活中的椭圆形实物，用游标卡尺或直尺测量椭圆实物的尺寸，设计用“两钉一线法”画此椭圆图形的方案。并将方案上传至蓝墨云班课平台，小组代表现场分享。通过合作学习，将新知运用到解决实际问题中，通过应用提高知识的理解。
6.作业布置。设计了数学基础作业和实践拓展作业，适度分层分类，符合模具专业学生动手能力强的学习特点。
（三）课后提升
学生课后除了完成数学基础作业，还学以致用，将学到的知识应用到模具专业的学习中。车标制作小组（如图4）和画椭圆形花坛小组（如图5），都在深刻理解了椭圆定义的基础上，能根据椭圆方程的参数关系熟练计算焦距、长轴和短轴长。
图4
图5
三、教学反思
（一）课前准备精准分析学情，优化教学设计
准确的学情分析，是做好教学设计的重要前提，只有充分了解学生的学情，才能设计适合学生的教学内容、教学活动、实施策略等。而学情的分析也要改变单一的知识方面的分析，要多方面分析。课前准备通过观看问题视频和绘制椭圆的微课，让学生带着问题去学习，更能激发学生的学习兴趣。通过数学知识的测试发现学生存在的不足，进一步优化教学设计，教师也能带着问题去教学，做到心中有数。
（二）课堂实施层层递进探索，符合认知规律
课堂实施分为“情境导入、合作探究、知识巩固、在线小测、实际应用、作业布置”六个环节，各环节相互联系，层层递进。注重学生对知识自主建构的过程，突出以学生为中心的教学思想。比如学生用两钉一线法画椭圆，通过画图过程的思考，自行建构椭圆的定义。椭圆方程的推导过程是难点，将推导过程分成“建、设、写、列、化”五个步骤，也是从简单到复杂，从学生熟悉的建坐标系，设动点，两点间的距离公式等知识，逐渐到化简等复杂的内容。为了得到椭圆两种焦点的方程，先从焦点在x轴上的方程开始，通过探索定义、推导方程、解析参数、归纳口诀等步骤，逐步推进，比较透彻地学习了焦点在x轴上的椭圆定义和方程之后，再通过类比学习的方法，学习焦点在y轴上的椭圆的方程。这样的设计符合学生的认知规律。
（三）课后拓展深度融合专业，提升核心素养
中职学生具有比较鲜明的专业特点，本课例中教学的对象为模具专业学生，而且是模具升学班的学生，他们的数学学习基础和学习动力都明显好于模具专业非升学班的学生。将数学知识应用到专业学习中，对数学知识的理解和掌握提出了更高的要求。本课课后提升的任务中有结合专业的应用题，小组学生通过测量丰田汽车车标中的椭圆尺寸，借助CAD制图软件进行设计，通过3D打印制作了一个丰田车标，这让学生体会到学习数学的价值。中职数学新课标也指出：“中等职业学校数学课程是中等职业学校各专业学生必修的公共基础课程，承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能，具有基础性、发展性、应用性和职业性等特点。”与专业学习融合，就体现了中职数学的职业性特点。
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