复数概念教学：基于历史，数形结合
狄迈 纪妍琳
摘要：回顾历史，代数问题中产生的数学内部矛盾是复数概念产生的动因，而几何意义的产生是复数被接受的推动力。因此，HPM视角下的复数概念教学应帮助学生从代数和几何两个角度建构复数概念，理解复数的二元数本质，接受“虚数不虚”的事实。在梳理史料的基础上，进行第一次教学设计：以史为鉴，理清脉络。通过实施及研讨，进行第二次教学设计：基于学情，增删改进。
关键词：HPM;复数概念;数形结合
复数的引入是中学阶段最后一次数系的扩充。学生学习复数概念时，要突破已有思维的局限，理解负数开平方的意义，从一元数的世界走向二元数的世界。历史上，复数的出现、发展与应用，均体现了人们在追求真理过程中的理性精神，蕴含丰富的文化内涵，具有较高的教育价值。
随着HPM课例研究的深入开展，基于数学史的复数概念课例层见叠出。现有课例大多利用卡丹（G.Cardano，1501—1576）的“分十”问题或邦贝利（R.Bombelli，1526—1572）应用求根公式求解一元三次方程的事迹，引发学生的认知冲突，揭示复数概念产生的必要性。然而，仅从代数的角度切入，不利于学生认清复数作为二元数的本质，真正地接受复数概念，即合法性认识不足。部分学生学习了复数概念后，甚至认为复数的代数表征和几何表征是两个不同的对象，而不是同一对象的不同表达方式，从而将两者割裂开来。此外，也有教师仅从几何的角度设计复数概念教学。但是，忽视代数表征的设计存在引入不自然等局限，即必要性认识不足。
回顾历史，代数问题中产生的数学内部矛盾是复数概念产生的动因，而几何意义的产生是复数被接受的推动力。因此，HPM视角下的复数概念教学应帮助学生从代数和几何两个角度建构复数概念，理解复数的二元数本质，接受“虚数不虚”的事实。
一、史料梳理
（一）代数意义：复数的产生与困境
解一元二次方程时，不可避免地会遇到负数开平方的问题。
从现存史料可见，3世纪古希腊数学家丢番图、9世纪印度数学家摩诃毗罗和12世纪印度数学家婆什迦罗都遇到了负数开平方的问题，他们都认为负数是没有平方根的，因为其不是一个平方数。
16世纪意大利数学家卡丹研究“分十”问题（将10分成两部分，使它们的乘积等于40）时，写下了5+-15和5--15这样的数。尽管卡丹是历史上第一个使用负数平方根的人，但是他拒绝承认这种数的存在。
应用一元三次方程求根公式过程中发现的矛盾使数学家不得不面对负数开平方的问题，这是复数产生的根本动因。
16世纪意大利数学家邦贝利研究方程x3=15x+4时，发现有三个实数解4、-2±3，但是应用一元三次方程求根公式，却得到了含负数开平方形式的解。面对这一矛盾，邦贝利通过将-1引入运算来解决。
虽然复数早已诞生，但是人们对复数的意义及其合法性一直存有怀疑。
1702年，德国数学家莱布尼茨（G.W.Leibniz，1664—1716）指出：“虚数是神灵循跡的精微而奇异的隐蔽所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物。”
1777年，瑞士数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）在论文中引入i=-1。但在《代数学引论》一书中，欧拉写道：“所有可以想象的数，要么大于零，要么小于零，要么等于零，所以负数的平方根显然不能包含在这些数中。因此，我们必须说，它们是不可能的数。”
（二）几何意义：复数的二元数本质
人们对复数的意义及其合法性的怀疑持续了将近250年，直到复数几何意义的出现，人们才真正接受复数。其中，复数的图形表示、实际应用、理论的公理化是复数被普遍接受的三个重要环节。
英国数学家沃利斯（J.Wallis，1616—1703）尝试给出复数的几何解释：对一元二次方程x2+bx+c=0（b>0，c>0），当b2≥c时，如图1所示，设AB长为b，C为AB的中点，过点C作AB的垂线，取CP=c，以P为圆心、b2为半径作圆弧，交AB于点D，则线段AD、BD长度的相反数即为方程的两个实根;类似地，当b2 挪威土地测量员魏塞尔（C.Wessel，1745—1818）最早给出了复数的几何图形解释。他建立了一个直角坐标系：横轴以1为单位，+1的方向角为0°，-1的方向角为180°;纵轴以ε为单位，+ε的方向角为90°，-ε的方向角为-90°或270°。从而得到了（+ε）（+ε）=-1，即ε=-1。这表明他已经给出了-1的几何解释。 瑞士簿记员阿甘德（J.R.Argand，1768—1822）首次用“绝对值”来表示距离，以区别线段的方向。如图3所示，记KA为正单位向量（+1），KI为负单位向量（-1），将-1视为+1与-1的比例中项，它的几何表示就是过点K且垂直于KA的向量KE，同理，--1的几何意义为向量KN。因此，可以将-1看成是+1按逆时针方向旋转90°得到的结果。由此，阿甘徳揭示了复数与向量之间的联系。 复数的几何表示最终由高斯（C.F.Gauss，1777—1855）完善。他提出了一个与复数相联系的平面，不仅将复数表示为该平面上的点，而且阐述了复数加法与乘法的几何表示。高斯指出：如果一开始不称1、-1和i为正、负和虚单位，而称为直、反和侧单位，那么人们对这些数或许就不会产生种种阴暗神秘的印象。 18世纪，复数在其他领域的广泛应用促进了其自身的发展。1752年，法国数学家达朗贝尔（dAlembert，1717—1783）将复变函数理论应用于流体动力学。1772年，瑞士数学家兰伯特（J.H.Lambert，1728—1777）将复变函数理论应用于地图的制作。 复数理论的完善是由英国数学家哈密顿（R.Hamilton，1805—1865）完成的。他指出：与2+3不同，a+bi并非真正意义上的和，加号的使用只是历史的偶然，b并不能加到a上去;复数只不过是一个有序实数对而已。这揭示了复数的二元数本质。进一步可以得到：复数能够按照一定的规则排序（如先比较实部，再比较虚部），但是无法比较大小。 综上所述，复数出现于“负数开平方”的代数情境，在几何解释与实际应用出现后被世人接受。这里特别值得一提的是，以虚数的存在为基础，吉拉尔提出、高斯证明了代数基本定理（n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根），进一步推动了人们接受虚数。 二、教学设计 （一）第一次设计：以史为鉴，理清脉络 以史为鉴，结合学生的认知基础，可以将卡丹的“分十”问题还原为“负数开平方”的一元二次方程问题，结合邦贝利应用求根公式求解一元三次方程的事迹，引发学生的认知冲突，引入虚数概念，揭示“知识之源”;基于魏塞尔、阿甘德对复数几何意义的研究，让学生从旋转的角度经历复数几何意义的产生过程，从几何的角度突破认知壁垒，认识“虚数不虚”;基于代数基本定理，让学生进一步从代数的角度感受虚数引入的合理性，进而学习复数的代数表示，理解复数的代数表示与几何表示之间的对应关系，完成从实数域到复数域的数系扩充过程;基于哈密顿对复数的公理化定义，揭示复数作为二元数的本质;基于莱布尼茨、欧拉等数学家对复数的看法，让学生了解复数概念从产生到被接受的曲折历程，形成动态的数学观，增强理性精神，实现“德育之效”。 具体教学设计如下： 1.问题引入。 【问题1】 构造四个不同的方程，使它们的解分别为自然数、负整数、分数、无理数;再构造一个无解的方程。 【问题2】 在实数范围内解方程x2=-1。 附加式地呈现丢番图、摩诃毗罗等数学家对“负数开平方”问题的看法。 2.新知探索。 【问题3】 解方程x3=15x+4。 学生用计算器求解，教师代入一元三次方程求根公式求解，然后对比。 顺应式地介绍邦贝利应用一元三次方程求根公式发现“负数开平方”形式的解。 【问题4】 从几何的角度尽可能多地说出对1×（-1）=-1的理解，概括得到-1的平方根的几何意义。 附加式地从代数基本定理的角度说明复数存在的必要性。 引导学生学习复数的定义、代数表示、分类及复数相等的充要条件。 3.新知应用。 【练习1】 下列复数是实数还是虚数？对于虚数，它们的实部和虚部分别是什么？（1）-0.5i;（2）-12-2i;（3）π;（4）0;（5）3;（6）2i-5。 【练习2】 当x、y为何实数时，z=（x2-3x+2）+（y2-2y-3）i=2？ 4.拓展提高。 附加式地介绍哈密顿对复数的公理化定义。 引导学生学习复数的大小比较、复数与向量的联系与区别，以深刻理解复数的二元数本质。 附加式地介绍莱布尼茨、欧拉等数学家对复数的看法。 5.布置作业。 【作业】 若将实轴绕着原点逆时针旋转90°，那么实轴上的数变为什么？ （二）第二次设计：基于学情，增删改进 在教学实施及课后研讨的基础上，基于学生学情总结出上述教学设计的一些问题：（1）教学内容过多，难以在一节课中完整呈现;（2）附加式地介绍了大量的数学史，有些“为了历史而历史”，导致学生注意的分散，不利于数学知识的学习;（3）无解方程的构造是学生学习的难点;（4）学生的代数基础较为薄弱，对一元三次方程的求解较为陌生，导致未能成功激发认知冲突;（5）学生基于1×（-1）=-1的几何意义探讨-1的平方根的几何意义时，较难突破思维惯性，跳出一维数轴，需要教师加以引导;（6）复数的大小比较问题涉及复数的运算，且完全解释这一问题需要运用有序域的概念，因此不宜在复数概念课中展开讨论。 由此，对上述教学设计作出如下改進：（1）将要求构造方程的问题1以及要求解一元二次方程的问题2修改为要求解一元二次方程的问题以及思考方程为什么没有实根的问题，从而利于学生理解没有实根和无解的区别，引出“负数不能开平方”想法;（2）删去有关一元三次方程的问题3，直接在回顾数系扩充过程的基础上，从数学史的角度介绍负数开平方的必要性，解释虚数的定义;（3）将研究虚数几何意义的问题4分解为若干子问题，为学生搭建“脚手架”;并且利用短视频呈现19世纪英国小说《平面国》的片段，启发学生突破思维惯性，跳出一维数轴，领悟数学推广的一般方法;（4）新增通过观察一元二次方程虚根的形式，抽象出复数的代数表示的活动;（5）在“拓展提高”环节，删去复数的大小比较、复数与向量的联系与区别等内容，强化对复数几何意义价值的思考;（6）总的来看，降低课堂容量，将一些附加式介绍的数学史改为重构式融入。 具体教学设计如下： 1.问题引入。 【问题1】 （1）在整数范围内解方程2x2-3x+1=0、2x2-3=0;（2）在有理数范围内解方程2x2-3x+1=0、2x2-3=0;（3）在实数范围内解方程2x2-3=0、x2=-1。 引导学生回顾从小学至今的数系扩充过程。 【问题2】 为什么Δ<0时，一元二次方程没有实根？ 2.新知探索。 从数学史的角度，简要介绍负数开平方的必要性（包括邦贝利研究一元三次方程求根公式发现“负数开平方”形式的解），解释i的定义（包括欧拉取“imaginary”的首字母来表示虚数，意为想象的数）。 【问题3】 研究x2=-1的几何意义。 （1）在数轴上，数的加减运算可以视为平移变换，那么乘法运算对应什么变换？ （2）观看19世纪英国小说《平面国》片段的短视频（主要内容如图4所示），你受到了什么启发？ 来自平面国的正方形，在一次探索旅行中，遇到了一位自称来自三维世界的访客。奇怪的是，他看上去是一个尺寸不断变化的圆形。这个圆形称自己为“球体”，实际上，正方形看到平面上忽大忽小的圆形是球体在上下移动。但是，就好比一维的人无法想象脱离直线的运动，正方形也不能理解“向上，而非向北”这个概念。球体说不清，只好付诸行动，将正方形揭起来，脱离了平面国，进入了空间。 （3）1×2=2、1×（-1）=-1、（-1）×（-1）=1的几何意义是什么？ （4）基于1×（-1）=-1的几何意义，如何理解x2=-1中x的几何意义？ 【问题4】 观察一元二次方程虚根的形式，你能定义复数吗？ 3.新知应用。 同第一次教学设计，略。 4.拓展提高。 从代数基本定理的角度说明复数存在的必要性。 介绍哈密顿对复数的公理化定义。 介绍莱布尼茨、欧拉等数学家对复数的看法。 【问题5】 数学家们力图找到复数的几何意义，为什么一定要让i有意义？ 5.布置作业。 【作业】 复数能否比较大小？ 参考文献： [1] 汪晓勤，沈中宇.数学史与高中数学教学[M].上海：华东师范大学出版社，2020. [2] A.Panaoura，L.Elia，A.Gagatsis，G.Giatilis.Geometric and algebraic approaches in the concept of complex numbers[J].International Journal of Mathematical Education in Science and Technology，2006（6）. [3] 曹林.虛数不虚：“复数的概念”教学实践[J].上海数学教学，2017（9）. [4] 顾慧，王华民.借数学史之力，解概念难点之疑——一堂基于数学史的“复数”概念的教学尝试与感悟[J].中学数学，2015（7）. [5] 汪晓勤，韩祥临.中学数学中的数学史[M].北京：科学出版社，2002. [6] L.Euler.Elements of Algebra[M].London：J.Johnson & Co.，1810. [7] 张奠宙，张广祥.中学代数研究[M].北京：高等教育出版社，2006. [8] 艾勃特.平面国[M].杜景平，译.北京：台海出版社，2018.