口算教学：术与理同在，技与能共长
陆卫英 房小科
摘要：为了充分地了解区域小学生的口算能力，从2013年春学期开始，连续六年对全区小学2012级学生进行跟踪调研，针对发现的一些问题，围绕口算教学开展序列化、专题化的研讨，旨在建立各年级、各口算类型的常模数据库，构建区域口算达标标准，引导学生走向自由、自动化的口算，走向灵活、创新性的口算。实践表明，术与理同在，在算理理解的基础上构建算法的口算教学颇有成效。
关键词：口算能力;区域调研;口算教学
口算亦称心算，是指在计算过程中，不写出竖式，也不借助计算工具，将中间运算结果保留在记忆中，直接通过思维活动说出计算结果的一种算法。它是数的运算形式之一。对运算能力的构成，曹培英立足小学数学教学的实际，提出了“四面體结构模型”。该模型揭示：基本口算（主要指20以内加减和表内乘除）是其他口算和任何笔算、估算不可须臾离开的运算反应;对小学生而言，基本口算反应与进一步的算法、算理共同构成运算能力的底部。可见，培养学生的运算能力，口算教学是基础。
一、小学阶段的口算教学内容
依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）中运算能力培养的要求，苏教版小学数学教材对口算教学内容的编排也发生了一些变化。首先，适当调整口算知识体系，如把“一位数乘、除两位数”的口算从第二学段前移到了第一学段。其次，分类推进口算知识呈现方式。教材中的口算内容主要分为三大板块。一是基本口算，如“表内乘、除法”等。基本口算是其他口算和所有笔算都需要的口算，教材是单独安排单元教学的。二是常用口算，如“两位数加、减一位数”等。常用口算对笔算有很大影响，教材中有些安排在笔算前面教学，也有的安排在笔算后面教学。三是其他口算。《课标》对这类口算没做明确、具体的要求，但它是笔算和估算的基础。因此，教材一方面在相应的估算、笔算中有目的地安排了其他口算内容;另一方面，在小数、分数的运算中，不再以例题教学的方式呈现，而一般以习题题组的方式编排其他口算内容。学生需要掌握的这三类口算内容，基本口算主要在一、二、三年级，常用口算主要在二、三、四年级，其他口算主要在五、六年级。
苏教版小学数学教材中的口算类型共有57种，一至六年级具体如下：一年级10种，分别是“10以内的加减”“20以内的进位加”“20以内的退位减”“100以内的整十数加减整十数”“100以内的两位数加整十数” “100以内的两位数减整十数”“100以内的两位数加一位数（不进位）” “100以内的两位数减一位数（不退位）” “100以内的两位数加一位数（进位）” “100以内的两位数减一位数（退位）”;二年级10种，分别是“表内乘法”“表内除法”“两位数加减一位数（不进位，不退位）”“两位数加减一位数（进位，退位）”“两位数加两位数（不进位）”“两位数加两位数（进位）”“两位数减两位数（不退位）”“两位数减两位数（退位）”“整百数加整十数及整千数加整百数”“几百几十减几十及几千几百减几百”;三年级12种，分别是“整十数乘一位数”“整百数乘一位数”“两位数乘一位数（不进位）”“两位数乘一位数（进位）”“乘加”“整十数除以一位数”“整百数除以一位数”“几百几十除以一位数”“两位数除以一位数”“简单的同分母分数加减”“两位数乘10”“整十数乘整十数”;四年级7种，分别是“几十或几百几十除以几十”“几十几或几百几十乘几”“几十几或几百几十除以几”“几十几乘几十”“几百乘几十”“两步乘加”“几百几十乘几十”;五年级10种，分别是“小数位数相同的小数加减”“小数位数不同的小数加减”“整数与小数加减”“小数乘整数”“一个数乘10、100、1000……的计算规律”“除数是整数的小数除法”“一个数除以10、100、1000……的计算规律”“小数乘小数”“除数是小数的除法”“异（同）分母分数加减”;六年级8种，分别是“立方的口算”“分数乘整数”“分数乘分数”“分数除以整数”“整数除以分数”“分数除以分数”“百分数加法”“百分数减法”。这57种口算类型基本集中在“数与代数”领域“数的运算”知识板块，涵盖整数、小数、分数运算，涉及加、减、乘、除四则运算。
二、关于小学生口算能力的区域跟踪调研
（一）调研背景
为了充分地了解区域小学生的口算能力，从而更好地开展口算教学，从2013年春学期开始，我们连续六年对全区小学2012级学生进行跟踪调研，旨在建立各年级、各口算类型的常模数据库，构建区域口算达标标准。
（二）调研对象与方法
每年的口算能力跟踪调研由全区统一组织，调研时间一般固定在每学年的春学期。调研前不做通知，调研题全程保密，调研后及时组织阅卷小组进行抽样阅卷（调研学生数在150人以上的学校抽样15%左右，调研学生数在150人以下的学校抽样25%左右）。六年来，对2012级学生口算能力跟踪调研的情况详见表1。
（三）调研结果与分析
1.各年级口算速度汇总。
下页表2显示，三、四年级时学生的口算速度相对比较快，每分钟平均能答对17道题以上;一、二、五、六年级时学生的口算速度差不多，每分钟平均能答对13道题以上。
2.各年级口算得分占比汇总。
从表3可知，五个分数段中，“中间段”（5分钟内答得“61-70分”）学生的占比最大。以一年级为例，调研卷共设152道题，按答对1题得1分计算，抽样的675份答卷中，5分钟内答得“80分以上”的学生占18.8%，答得“71-80分”的学生占15.6%，答得“61-70分”的学生占34.4%，答得“51-60分”的学生占28.1%，答得“50分”的学生占3.1%。再结合表2数据可以发现，一、二、五年级学生的口算速度表现为“两头小，中间大”的特点;三、四年级学生的口算速度表现为“聚焦高分段”的特点，六年级学生的口算速度则表现为“聚焦低分段”的特点。总而言之，同一批学生一至六年级的口算速度无规律可循，不是随着年级的升高而增加的，而是由教材知识体系编排的口算类型决定的。
3.各口算类型的正确率汇总。
根据区域2012级学生一至六年级各口算类型的正确率情况（如下页表4所示），31种口算类型正确率在95%以上，18种口算类型正确率在90%-95%之间，8种口算正确率在90%以下。正确率低于90%的口算类型有：二年级的“两位数减两位数（退位）”，三年级的“两位数除以一位数”，五年级的“一个数除以10、100、1000……的计算规律”“小数乘小数”“除数是小数的除法”“异（同）分母分数加减”等，六年级的“整数除以分数”“分数除以分数”等。数据说明，学生的整数口算正确率比较高，小数口算相比整数、分数口算略差一些。
三、思考与实践
一般来说，口算能力的形成要经过“明理—会算—熟练—灵活”四个阶段。其中，明理，是指遇到一种新的口算类型时要理解算理;会算，是指要着重评价正确率，而不对速度提过高的要求;经过一段时间之后逐步达到熟练的程度，要有速度的要求;但熟练了还不能表明已经具有了良好的口算能力，还要能面对具体的问题选择最合适的方法，这就是最高阶段——灵活。综合区域2012级学生六年的口算调研结果与分析，针对发现的一些问题，我们围绕口算教学开展了序列化、专题化的研讨，形成了以下思考与实践：
（一）组织教学探索活动，让术与理同在
针对2014年区域调研中发现的二年级学生“两位数减两位数（退位）”口算正确率不高（88.80%）的现象，我们分别在二、三年级做了一次补充调查，结果如下：三年级学生“两位数加减两位数”口算的速度、正确率高于二年级学生，但他们对口算方法的掌握情况与二年级学生相比并没有明显的优势。参与调查的二、三年级学生中，分别都只有10%的学生能想到把其中一个两位数拆分成整十数和一位数，再与第二个两位数相加减（教材编排的口算方法），其余90%的学生都习惯把两个两位数分别拆分成整十数和一位数，然后用笔算方法计算出得数。这次调查表明，教师的口算教学更关注算法，因为依据算法一步步计算即可算出结果。
《课标》在“教学建议”中指出，在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。口算教学既要教术，也要教理。“术”即算法，“理”即算理。没有算理的算法是机械的，不成算法的算理是空洞的，二者联通才能转化成口算能力。
通过一段时间的教学探索，我们归纳出有效的口算教学应该包括五个层次：问题启思（酝酿算法）、自主探究（探究算法）、收集资源（生成算法）、序列交流（交流算法）、归纳完善（优化算法）。具体流程是：面对新算法，首先让学生自主尝试，引领一部分学生依据原有的知识经验算出正确结果;然后，在后续结构化的学生作业资源呈现和对比中，通过层层递进的序列交流，让更多的学生领悟新算法。经历这样的学习过程，学生不仅知道怎样口算，而且明白为什么这样口算。
同时，针对口算教学的不同内容，我们还梳理出了口算算理课、口算复习课、口算整理课、口算拓展课等课型。不同的课型教学要求和教学目标有所不同。比如，口算复习课要具有三个“意识”：一是建立口算达标、过关检测的意识，二是单元目标高于新授课时目标的意识，三是留给学生独立“执笔训练”时间的意识。再如，口算拓展课是基于学生某一个学段的口算水平，围绕一个主题展开的。如二年级“认识万以内的数”之后的一节口算拓展课《凑整巧算》，主要是通过数学活动，帮助学生加深对“十进位值制”的理解，发现加法算式中只要两个加数个位凑成“10”，得数就比两个加数十位相加的数多“10”的灵活口算规律。不同课型的口算教学，旨在引导学生走向自由、自动化的口算，走向灵活、创新性的口算。
（二）构建区域口算标准，力求人人“过关”
帮助学生形成必要的技能，无疑是数的运算教学的重点。这就要求我们的口算教学把客观的程序性知识内化为主体的行为经验，实现由详尽的思维活动向简略的思维活动的提升，从依附规则的计算变为潜意识的自动化运算状态。为了帮助学生逐步达成这样的目标，我们结合教材编排特点，根据学生一至六年级各口算类型的平均达成水平，构建并出台了区域小学生口算达标标准，要求教师参考口算达标标准，引领学生自主训练、自主达标，做到所有口算类型人人过关。以一年级为例，2013年全区一年级学生平均口算速度是每分钟算对13.7道，2016年全区一年级学生平均口算速度是每分钟算对13.02道，2019年全区一年级学生平均口算速度是每分钟算对16.3道。结合几个不同的时间段对一年级学生口算技能跟踪调研的数据，我们初拟了区域一年级口算达标标准，详见表5。
《课标》在“评价建议”中明确了“第一学段计算技能评价要求”，而我们在综合跟踪调研和数据分析的基础上，适当提高了要求。比如，《课标》对“20以内加减法和表内乘除法口算”的速度要求是“8-10道/分钟”，我们确定的口算达标标准是“10-14道/分钟”。
四、结语
“数学的本质是指具体数学内容的本真意义。某个具体内容的数学本质既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性，还表现为统摄具体数学知识与技能的数学思想方法。”口算和笔算都是算法的运算，但算法依据不同。口算是依据运算规律的运算，更具有灵活性和多样性。近年来，我们跟踪调研区域小学生口算能力，综合数据分析，持续开展口算教学研讨。2020年，我们再次对区域二年级学生口算能力进行了调研，并将口算正确率与2014年进行了对比。从下页表6可见，术与理同在，在算理理解的基础上构建算法的口算教学颇有成效。
当然，在努力追求区域学生口算“正确、迅速、合理、灵活”的实践研究过程中，我们也清晰地认识到：口算速度绝不是越快越好，口算技能培养也并非一朝一夕的练习所能奏效。从关注知识到培养能力，才是教师应该长期思考和研究的方向。
参考文献：
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